バーガース渦

バーガース渦の詳細な解説

バーガース渦（Burgers vortex）は、粘性流体における渦のモデルであり、流体の動きを理解するための重要な役割を果たします。これは、ナビエ–ストークス方程式の厳密解であり、定常かつ自己相似な流れを考えることで形成される渦を説明します。特に、ヤン・バーガースとニコラス・ロットにちなんで名付けられました。

概要と流れ場の構造

バーガース渦では、対称軸から中心に向かって流れる流れが渦度を集中的に形成し、同時に粘性の影響によりこれを拡散しようとします。この二つの効果が釣り合うことにより、持続性を持つバーガース渦が成立します。具体的には、流れ場は円筒座標系で表現され、軸対称な条件を仮定した場合の滞留点を考慮します。

流れ場における速度成分は次のように表現されます：

• - 放射方向の速度：$v_r = -eta r$
• - 軸方向の速度：$v_z = 2eta z$
• - 方位方向の速度：$v_ heta = rac{ ext{Γ}}{2 ext{π}r}g(r)$

ここで、$eta$は流体の伸長度、$ ext{Γ}$は循環を示し、これらの式が維持されることにより流れ場の連続性が確保されます。

ナビエ–ストークス方程式の理解

ナビエ–ストークス方程式において、圧力項と外部力項を無視した場合、方位角方向の運動方程式は次の形になります。
$rrac{d^2g}{dr^2} + (rac{eta r^2}{
u} - 1)rac{dg}{dr} = 0$
此において、$
u$は動粘性係数です。

無限遠ではポテンシャル渦に近い動きを示し、蓄えた渦度は流れの中心に向けて集中化されます。

解を導くためには、以下の関係が成り立ちます：

• - $g( ext{∞}) = 1$
• - $g(0) = 0$

この前提により、最終的な解は次のように示されます：

$g = 1 - ext{exp}(-rac{eta r^2}{2
u})$.

これにより、渦度の軸方向成分のみが次のように表されます。

$ ext{ω}_z = rac{eta ext{Γ}}{2 ext{π}
u} ext{exp}(-rac{eta r^2}{2
u})$.

バーガース渦レイヤーとその特徴

バーガース渦の別の形態として、バーガース渦レイヤーも存在します。これは1905年にA.A.タウエンドによって初めて説明されたもので、二次元的に近似されたシアー層によります。この流れ場の速度成分は次のように表現されます：

• - $v_x = -eta x$
• - $v_z = eta z$
• - $v_y = U ext{erf}(rac{eta x}{ ext{√{2ν}}})$

ここで、$ ext{erf}$は誤差関数を表します。また、$eta > 0$であることが条件です。この構造は、特に強い渦レイヤーの性質を反映し、様々な応用が期待されます。

非軸対称なバーガース渦の理論

流れ場が非軸対称である場合、非軸対称なバーガース渦が現れることがあります。1984年にA.C.ロビンソンとフィリップ・サフマンによって、レイノルズ数が小さい場合の非軸対称な理論が提唱されました。その後1994年には、レイノルズ数が高い場合の理論が改良され、数値積分を用いて非軸対称なバーガース渦も解析されるようになりました。

この非軸対称なバーガース渦は、次のような速度場で表現されます：

• - $v_x = -eta x + u(x,y)$
• - $v_y = -eta y + v(x,y)$
• - $v_z = eta z$.

特に、流れの断面がxy平面に位置し、z方向の渦度成分が現れることで、複雑な流体の動きがシミュレーションされます。

まとめ

バーガース渦は、流体力学における重要な概念であり、様々な近似や変形を通じて、流れの理解を深める手助けをしてきました。特に、ナビエ–ストークス方程式における厳密解としての位置付けや、非軸対称な流れの理論化など、多くの研究が進められています。流体力学の基礎を成すこの理論は、今後の研究にも大いに寄与することでしょう。

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