ヒュームの原理

ヒュームの原理について

ヒュームの原理（Hume's Principle、略称HP）は、具体的には、与えられた二つの数の集合が一対一対応する場合、その二つの集合が等しいことを主張する数学的な原理です。この原理は、数学の哲学において重要な役割を果たしているものであり、特にジョージ・ブーロス（George Boolos）によりその名がつけられました。また、二階述語論理に基づいて定式化されることが特徴です。

ヒュームの原理は、ゴットロープ・フレーゲの数学哲学において中心的な概念であり、フレーゲはこの考え方により、現在の二階算術と呼ばれる理論のすべての公理が論理的必然として導かれることを示しました。この理論の重要な結論はフレーゲの定理として知られ、また新論理主義と呼ばれる数学哲学を支える基盤ともなっています。

発端

ヒュームの原理は、フレーゲの著作『算術の基礎』においてデイヴィッド・ヒュームの『人間本性論』から引用される形で言及されています。ヒュームはこの著作で、観念同士の基本的な関係には7つの種類が存在するとし、その中の一つとして比例を挙げています。彼によれば、数量に関する推論は幾何学によって表現されるべきものではあるが、幾何学が「完全な厳密さと確実さ」に達することは不可能であると述べました。

ヒュームは、「数」の概念を古い定義に基づいています。ここで言う数は正の整数を指すのではなく、むしろ事物の集合やコレクションを示します。このため、彼の見解をもとにフレーゲがヒュームの原理を解釈することは、必ずしも正当ではなく、無限の数の存在を肯定する結論など、ヒュームが否定した可能性のある意見も含まれていることに留意すべきです。

集合論への影響

ヒュームの原理は、カントールによってすでに基数を特徴づけるために取り上げられ、この考えがフレーゲに影響を与えています。しかし、フレーゲはカントールに対して批判的で、彼の理論とは異なる観点から基数の理解にアプローチしました。カントールは基数を順序数によって定義する考えを持っていましたが、フレーゲはそれに依存せずに基数を定義しようとしました。このように、ヒュームの原理は集合論、特に公理的集合論が扱う超限数の概念とも深く関わっているのです。

参考文献

この原理については、多くの哲学的文献が存在します。特に、フレーゲの作品やその理論を解説したものは、ヒュームの原理に関する理解を深めるための重要な資料です。例えば、AndersonとEdward Zaltaによる著作「Frege, Boolos, and Logical Objects」や、ブーロスの『Logic, Logic, and Logic』などがその一例です。これらの文献を通して、ヒュームの原理がどのように現代数学の基礎に寄与しているかを学ぶことができます。

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