算術

算術の概要

算術（さんじゅつ）は、数やその演算を取り扱う学問で、数の性質や計算規則、ならびに計算法といった論理的な手続きを明らかにすることを目的としています。日本語において、算術という言葉は、文明開化以前の日本における数学全般（後に和算と呼ばれる）を指していた時期もありました。今日の英単語「arithmetic」や「算術」は、時として数論を表す場合にも使用されることがあります。

四則演算の重要性

算術の基本的な要素として、加法（addition）、減法（subtraction）、乗法（multiplication）、除法（division）の4つの演算が存在します。これらは四則演算（Four arithmetic operations）とまとめられ、以下の記号で表されます：

• - 加法：+
• - 減法：−
• - 乗法：×
• - 除法：÷

プログラミング言語では、減法はハイフン（-）を、乗法はアスタリスク（*）、除法はスラッシュ（/）が用いられます。

演算の制約

加法と乗法は、非負の整数に対して自由に適用できますが、減法と除法には条件があります。非負の整数において減法では、引く数が引かれる数より大きい場合を扱うことがもできません。また、除法では、割る数が割られる数の約数でない限り、その演算を定義できません。これらの制約は、整数全体や有理数の範囲で考えることで解消できます。例えば、1 − 2 は非負整数では結果を持ちませんが、整数全体であれば -1 という結果を得られます。同様に、−4 ÷ 3 は有理数 −4/3 という形で表現できます。

四則演算の性質

四則演算には、交換法則、結合法則、分配法則といった多くの重要な性質があります。これらの演算が自由に行える集合は「体」と呼ばれ、具体的には有理数、実数、複素数の全体がその例です。

また、除法は乗法の逆の演算であり、a × b = c ならば b = c ÷ a が成り立ちます。逆数 b は a の逆元といい、1/a で表されます。同様に、減法は加法の逆であり、a + b = c より a = c − b で表せます。

このように、加法の逆元は−a であり、下記の関係が常に成立します：

• - a + (−a) = 0

ここで、a が正の数であれば−a は負の数、逆にa が負の場合は−a は正になります。a が 0 の場合は、−a もまた 0 になります。このことから、正の数の減法は負の数の加法に、逆に負の数の減法は正の数の加法に置き換えられます：

• - a − b = a + (−b)

算術演算とコンピュータ

算術演算とは、コンピュータ用語において整数の加減乗除を指します。対する「論理演算」では、論理和や論理積などのビット操作が取り扱われます。また、右シフト操作の中では、更に細分化がなされ、空くビットを最上位ビットで埋めるシフトを「算術シフト」と呼び、0 で埋めるシフトは「論理シフト」と称されることがあります。しかし、これらの名称は歴史的背景によるもので、より正確には符号付き（signed）や符号無し（unsigned）で分類されることが理にかなっています。

まとめ

算術は数とその演算に関する学問であり、その理解の重要性は多数の分野で広く認識されています。本項で述べた内容は算術の基本を理解する手助けとなり、日々の計算や数学的な考察に役立つことでしょう。

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