ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス

「ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス」は、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが提示した有名な思考実験です。これは、私たちが日常的に経験する「有限」の世界とは大きく異なる、「無限」という概念の持つ非直観的な性質を分かりやすく示すために考案されました。論理的には完全に正しいにもかかわらず、私たちの直観に反するように感じられるため、「パラドックス」（正確には「擬似パラドックス」）と呼ばれています。このアイデアは、ヒルベルトが1924年の論文で紹介し、後に物理学者ジョージ・ガモフの著書を通じて広く知られるようになりました。

この思考実験の舞台は、文字通り無限個の客室を備えた仮想のホテルです。簡単のため、客室には1号室、2号室、3号室…と自然数の番号が無限に付けられていると仮定します。そして、このホテルはすべての客室にすでに客が滞在しており、「満室」であるとします。

有限個の客室しかない通常のホテルであれば、「満室であること」と「新しく来た客をこれ以上泊めることができないこと」は同じ意味を持ちます。しかし、無限ホテルではこの常識が通用しません。

新しい客を収容する方法

たとえ満室であっても、無限ホテルでは新たな客を受け入れることが可能です。

有限人数の客を受け入れる場合

例えば、1人の新しい客が宿泊を希望したとしましょう。通常のホテルなら諦めるしかありませんが、無限ホテルでは次の手順で部屋を用意できます。

ホテル側は、まず1号室にいる客に2号室へ移動してもらいます。次に、2号室にいる客に3号室へ、3号室にいる客に4号室へと、全ての客に自分の部屋番号より1つ大きい番号の部屋へ移動をお願いするのです。この移動は同時に行われると仮定します。すると、もともと1号室だった部屋が空室になり、新しい客をそこに案内できます。

この操作を応用すれば、2人、3人、あるいは任意の有限人数の客が来ても対応できます。例えば、10人の新しい客が来た場合、全ての客に自分の部屋番号より10大きい部屋へ移動してもらうことで、1号室から10号室までの部屋をまとめて空けることができます。

無限人数の客を受け入れる場合

さらに驚くべきことに、無限人の新しい客（例えば、無限に続くバスの乗客全員）が同時に来ても、彼らを全員収容することが可能です。

この場合、ホテルは現在滞在している全ての客に対して、自分の部屋番号の2倍の番号を持つ部屋へ移動をお願いします。つまり、1号室の客は2号室へ、2号室の客は4号室へ、3号室の客は6号室へ…と、n号室の客は2n号室へ移動します。この移動が完了すると、全ての奇数番号の客室（1号室、3号室、5号室…）が空室になります。奇数は無限に存在するため、これで無限人の新しい客を受け入れる十分な部屋が確保できるのです。

それぞれ無限人の客を乗せた無限台のバスを受け入れる場合

さらに複雑なシナリオとして、無限人の乗客を乗せたバスが無限台、同時にホテルに到着したとしましょう。この場合も、工夫次第で全ての客を収容できます。バスには号車番号（1号車、2号車…）と座席番号（1番、2番…）が付いているとします。つまり、客は「c号車のn番目の乗客」という形で識別できます。

このような「無限×無限」の客を部屋番号（自然数）に対応させるには、いくつかの数学的な手法が利用できます。例えば、

素因数分解を利用する方法: c号車のn番目の客を、特定の素数の積（例えば、2のn乗×3のc乗）で表される部屋番号に案内します。算術の基本定理により、どんな部屋番号も素因数分解の結果は一意なので、同じ部屋に複数の客が入ることはありません。
数字を交互に並べる方法（Interleaving method）: 客の号車番号と座席番号を数字列として表現し、例えば1桁目、2桁目…と交互に並べて新たな部屋番号を作ります。この方法では、全ての部屋番号が埋め尽くされるような対応も構築できます。
* 三角数を利用する方法: 三角数（1, 3, 6, 10…）を使って部屋を効率的に割り当てる方法もあります。ホテルの部屋をピラミッドのように配置することで、この割り当てを視覚的に理解しやすくなります。

これらの方法を使えば、無限の無限倍というような、さらなる階層を持つ無限集合（例えば、無限隻のフェリーにそれぞれ無限台のバス、それぞれに無限人の客）であっても、同様の原理で対応が可能となります。

パラドックスの意味

なぜこのようなことが可能なのでしょうか？これは、有限集合と無限集合の性質が根本的に異なるためです。

有限個の要素からなる集合では、その真部分集合（元の集合より要素が少ない部分集合）は元の集合より要素数が少ないのが当然です。しかし、無限集合、特に可算無限集合（自然数全体と同じ「濃度」を持つ集合）においては、真部分集合であっても元の集合と同じ濃度を持つことがあります。例えば、無限ホテルの奇数番号の部屋全体は、ホテル全体の部屋数（無限）と「同じ数」だけ存在するのです。数学では、この「数」を「濃度」と呼び、可算無限の濃度はアレフ・ゼロ（ℵ₀）で表されます。

したがって、「全ての部屋に客がいる」という状態と「これ以上客を泊められない」という状態は、無限ホテルでは等価ではないのです。ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスは、この無限集合の非直観的な性質、特に可算無限集合が真部分集合と一対一対応を持ちうるというカントールの集合論の基本的なアイデアを鮮やかに示しています。

このパラドックスは数学や哲学だけでなく、多くのフィクション作品（小説、漫画、映画など）でも言及され、無限という深遠な概念について考えるきっかけを提供しています。

（参考文献や関連情報のリストは割愛します）

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