ヒルベルト・プログラム

ヒルベルト・プログラム

ヒルベルト・プログラムとは、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが提唱した、数学を形式的に体系化しその完全性と無矛盾性を示そうとする試みを指します。この計画はしばしば「ヒルベルト計画」とも呼ばれ、20世紀の数学基盤論において重要な役割を果たしました。

プログラムの概要

ヒルベルトは、数学におけるすべての真実な命題が必ず証明できること、また公理から導かれる推論の過程において矛盾が生じることが絶対にないと考えました。彼の目的は、これらの事実を、有限な方法論を用いて証明することで、数学全体に堅固な基盤を与えることにありました。特に、実数論の無矛盾性の証明は、ヒルベルトの23の問題の1つとされ、しばしば自然数論に関する誤解が呼ばれることがあります。

1900年頃、集合論においていくつかの矛盾（いわゆるパラドックス）が発見されましたが、ヒルベルト・プログラムは、これらの矛盾を単に解消するだけでなく、未来において同様の問題が再発しないための重要な枠組みを設けることを目指していました。この運動は、数学の深層に迫る探究として大きな意義があります。

不完全性定理の影響

このヒルベルト・プログラムの進展は、1930年にクルト・ゲーデルが発表した不完全性定理によって大きく影響を受けました。特に、第2不完全性定理は、「自然数論を含む帰納的な公理系が無矛盾であれば自身の無矛盾性を証明できない」と述べており、有限な方法だけでは全ての公理系の無矛盾性を証明できないという課題を示しました。ヒルベルトの計画が目指した自然数論、実数論、集合論の無矛盾性を示すことが難しくなったのです。

そのため、ヒルベルト・プログラムは修正を余儀なくされましたが、完全に否定されたわけではなく、依然として数学界での研究が続いています。

自然数論と実数論の無矛盾性

自然数論の無矛盾性については、1934年にゲルハルト・ゲンツェンが証明の正規化手法を用いて示しました。この方法では、計算の終了性がε0までの超限帰納法を使用して確認されます。この手法が「有限の立場」での正当性を持つかについては、議論の余地があります。

また、実数論については、ゲーデルに学んだ竹内外史が1954年に高階述語論理での証明正規化により無矛盾性を証明しました。さらに、Dag Prawitzと高橋元男には、任意の証明に対しその正規化が存在することが示されていますが、この手続き自体が具体的に知られていないため、「有限の立場」との整合性について疑問が残ります。

終わりに

ヒルベルト・プログラムは、数学基盤論における重要な理論であり、近代数学の発展に対する影響は計り知れません。今日でも、このプログラムの理念は数学および数理論理学において探究され続けており、さらなる発展が期待されています。

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