ヒルベルト多項式

ヒルベルト多項式とは

可換環論における次数環、あるいは次数加群のヒルベルト多項式とは、その次数環、あるいは次数加群の斉次成分の次元の増加率を測る一変数多項式です。次数付き可換環 S のヒルベルト多項式の次数および最高次係数は、射影代数多様体 Proj S の次数および次元に関係があります。

定義

体 K 上の有限次元空間 S1 から生成される次数付き多元環を考えます。

math
S = ⨁ Sn


この時、ヒルベルト多項式とは、すべての（しかし有限個の）正の整数 n に対して以下の式を満たす、ただひとつの有理係数多項式 HS(t) のことです。

math
HS(n) = dimk Sn


これは、すべての（しかし有限個の）自然数 n に対する値が多項式補間によって与えられるような場合の「ヒルベルト函数」という意味で、「ヒルベルト多項式」と呼ばれます。

次元の値は整数であるため、ヒルベルト多項式は整数値多項式 (numerical polynomial) となります。しかし、ヒルベルト多項式が整係数多項式となるのは極めて稀です。

同様に有限生成次数加群 M のヒルベルト多項式 HM も、少なくとも M が正の次数付けを持つならば定義することができます。

Pn 内の射影多様体 V のヒルベルト多項式は、V の斉次座標環のヒルベルト多項式として定義されます。

例

各 xi を斉一次の変数とする k+1 変数多項式環 S = K[x0, x1, …, xk] のヒルベルト多項式 HS(t) は二項係数です。

M が有限次元次数加群ならば、その十分大きな次数の斉次成分はすべて 0 であり、したがって M のヒルベルト多項式は恒等的に 0 となります。

一般化

環 S が次数 1 の成分で生成されない場合にも、S 上の有限生成加群 M のヒルベルト函数はまだ定義可能ですが、もはや多項式であるとは限りません。
M のヒルベルト–ポアンカレ級数は M の次数付き成分の次元の母函数として定義されます。M がよい性質を持つならば、ヒルベルト-ポアンカレ級数は有理函数となります。

参考文献

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, MR1322960.
Schenck, Hal (2003), Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53650-9, MR011360
* Stanley, Richard (1978), “Hilbert functions of graded algebras”, Advances in Math. 28 (1): pp. 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, MR0485835.

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