ヒル球

ヒル球（Hill Sphere）

ヒル球は、天体力学において重要な概念であり、ある重い天体の周りを公転する他の天体が、その天体の重力の影響を受けて維持される領域を示します。この範囲は、重い天体の周囲で公転する微小天体にとって、その天体と独立して動くことができる限界を定義づけます。ヒル球はアメリカの天文学者ジョージ・ウィリアム・ヒルによって提唱されましたが、フランスのエドゥアール・ロシュも同様の研究を行ったため、ロシュ球とも呼ばれます。

ヒル球の定義と構造

ヒル球を考える上で、まず2つの天体、すなわち重い天体（天体1、質量 M₁）とその周りを公転する天体（天体2、質量 M₂）を想定します。これらの天体の間の距離を r、天体2の近傍に存在する質量が無視できる程度の小さい物体、つまりテスト粒子の距離を a と定義します。このとき、テスト粒子は天体2の重力の影響を強く受けますが、天体1の重力も無視できません。

テスト粒子に働く力は、天体1からの重力、天体2からの重力、そして座標系の回転によって生じる遠心力の3つがあり、これらの力のバランスによってヒル球の内外が判断されます。特に、ヒル球の内側では天体2の重力が支配的であり、テスト粒子はその周りを安定に回ることができます。

ヒル半径の算出

ヒル球の半径はヒル半径とも呼ばれます。この半径は、次のような式で求めることができます。

$$ a = r \sqrt[3]{\frac {M_2}{3M_1}} $$

この公式からもわかるように、ヒル半径は重い天体の質量とその中心天体からの距離に依存します。ヒル球の存在は、衛星の安定性を理解する上で非常に役立ちます。たとえば、地球のヒル球の内側では衛星が安定して公転することが可能であり、その結果、月は地球の衛星として存在しています。

ヒル球の具体例

地球と太陽の関係を例に取ると、地球の質量は約5.97×10²⁴ kg、太陽の質量は約1.99×10³⁰ kgです。このとき、地球と太陽の距離が149.6 Gm（1 au）の場合、ヒル球の半径は約1.5 Gm（0.01 au）となります。この半径は、実際の月の軌道半径0.370 Gm（0.0025 au）と比較しても十分小さく、月は地球の重力によって安定して引き付けられています。

また、300 kmの高度を飛行する104トンのスペースシャトルのヒル球の直径はわずか120 cmです。これは、スペースシャトルの重心から120 cmの距離に相当し、そのため非常に小さな範囲で影響を受けることになります。

ヒル球の依存要因

ヒル半径は、天体の質量と主星との距離に依存し、特に距離に対する影響が強いです。太陽系の中で最も大きなヒル球を持つのは海王星であり、ヒル半径は116 Gm（0.775 au）です。一方で、木星は海王星よりもはるかに太陽に近いため、そのヒル半径は53 Gm（0.354 au）に過ぎません。

このように、衛星となる天体の質量がヒル球の定義に与える影響を考慮することが重要です。衛星の質量が十分小さいこと、そして放射圧や他の力を無視できるときに、初めてヒル球の解析が有効になります。衛星の安定的な軌道は、ヒル球の半径の1/2から1/3以内に収束することが望ましいです。

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