ビタビアルゴリズム

ビタビアルゴリズムとは



ビタビアルゴリズムは、観測された事象の系列から、その背後にある隠れた状態の最も可能性の高い並び（ビタビ経路）を特定するための動的計画法アルゴリズムです。特に、隠れマルコフモデル（HMM）と深く関連しており、情報理論の分野で重要な役割を果たします。

アルゴリズムの前提条件



ビタビアルゴリズムを適用するには、いくつかの前提条件があります。

1. 事象の系列: 観測された事象と隠された事象は、時系列のように1つの系列上に並んでいる必要があります。
2. 一対一の対応: 観測された各事象は、隠された状態の1つに正確に対応している必要があります。
3. マルコフ性: ある時点における最も尤もらしい隠された状態は、その時点の観測された事象と、直前の時点での最も尤もらしい隠された状態の系列のみに依存します。これは、一次隠れマルコフモデルで満たされる条件です。

これらの前提条件を満たすことで、ビタビアルゴリズムは、観測されたデータから最も尤もらしい状態の推移を効率的に計算できます。

アルゴリズムの概要



ビタビアルゴリズムは、システムが時間経過とともに状態を変える状態機械として動作します。各状態はノードで表され、各ノードへ到達する経路の中で、最も尤もらしい経路（生存者経路）を決定します。このアルゴリズムは、各状態に到達するあらゆる経路を調べ、その中で最も確率の高い経路を選択し、状態の並びに対して順次適用していくことで、最も尤もらしい状態の系列を導き出します。

状態間の遷移には増分（通常は数値）が付与されます。これらの増分は観測された事象から得られ、経路上で累積すると考えられます。アルゴリズムの核心は、各状態についての数値を保持し、新しい事象が発生するたびに、これまでの経路の値と新しい遷移の増分を考慮して最良の経路を選択することです。

遷移確率は、ある状態から別の状態への遷移しやすさを表します。例えば、自動車が前進、停止、後退の3つの状態を持つ場合、前進から直接後退することはなく、必ず停止状態を経由する必要があります。

ビタビアルゴリズムでは、経路履歴を記録する必要があります。初期状態が既知で、十分なメモリがある場合は、履歴は有限となります。しかし、リソースが限られている場合は、履歴の深さを制限するなどのプログラム上の解決策が必要です。畳み込み符号化などがその例です。ビタビアルゴリズムは非常に効率的ですが、計算負荷を削減するための変形版も存在します。

具体例：天候と行動の推測



ビタビアルゴリズムの具体例として、遠隔地に住む友人の行動から天候を推測する問題を考えます。

友人は、公園の散歩、買い物、部屋の掃除の3つの行動しかせず、その日の行動は天候のみに依存するとします。天候は「雨」と「晴れ」の2つの状態があり、直接観測することはできません。このモデルは、隠れマルコフモデル（HMM）として表現できます。

  • - 隠れた状態: 「雨」、「晴れ」
  • - 観測された状態: 「散歩」、「買い物」、「掃除」

各状態の間の遷移確率と、ある状態のときに特定の行動をする確率が与えられているとします。例えば、「雨」の日は「掃除」をする確率が高く、「晴れ」の日は「散歩」をする確率が高いとします。

友人が3日間、「散歩」、「買い物」、「掃除」をしたという観測結果が得られた場合、ビタビアルゴリズムを使って、この観測結果を説明する最も可能性の高い天候の系列を推定できます。前向きアルゴリズムと組み合わせることで、観測された系列全体の確率を計算することもできます。

ビタビアルゴリズムの計算手順



1. 初期化: 最初の観測時点における各状態の確率を初期化します。ビタビ経路とビタビ経路の確率も初期化します。
2. 反復処理: 観測された各事象に対して、次の状態の確率とビタビ経路を計算します。各状態への遷移確率と、観測された事象の確率を考慮し、最も確率の高い経路を更新します。この際、前の時点までのビタビ経路の情報を用いて計算します。
3. 最終結果: 全ての観測事象を処理した後、最も確率の高いビタビ経路を選択します。

上記の例では、['walk', 'shop', 'clean'] という観測結果から、最も尤もらしい天候の系列は ['Sunny', 'Rainy', 'Rainy'] と推定され、初日は晴れだったが、その後雨が続いた可能性が高いと結論付けられます。

アルゴリズムの応用



ビタビアルゴリズムは、さまざまな分野で応用されています。


アルゴリズムの拡張



ビタビアルゴリズムの拡張として、反復ビタビ復号や遅延ビタビアルゴリズムなどがあります。

  • - 反復ビタビ復号: 観測結果の部分系列を効率的に探索
  • - 遅延ビタビアルゴリズム: ノード展開を遅らせて計算量を削減

まとめ



ビタビアルゴリズムは、観測された事象から、その背後に隠された状態の最も可能性の高い系列を推定する強力なツールです。動的計画法と隠れマルコフモデルの概念を組み合わせることで、多くの分野で実用的な問題を解決するために利用されています。

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