ピアポント素数

ピアポント素数について

概要

ピアポント素数（英: Pierpont prime）は、特定の数の形式で生成される素数を指します。この素数は、数式 `2^u 3^v + 1` の形を持ち、ここで非負整数である `u` と `v` が用いられます。簡単に言うと、ピアポント素数は `p - 1` が3-smooth（3のべきと1のみの因数を持つ）な素数 `p` であると定義されます。この名前は、アメリカの数学者ジェームズ・ピアポントに由来し、彼は円錐曲線を用いて正多角形を作図した研究に関連付けています。

ピアポント素数には、いくつかの特性があります。まず、`v=0` の時には、これがフェルマー素数として知られる形 `2^u + 1` になります（ただし、`u=0` の場合は2を除きます）。さらに、`v` が正のときには `u` も正である必要があり、これにより 2 やフェルマー素数に該当しないピアポント素数は全て `6k + 1` の形式を持ちます。

ピアポント素数の一部は以下の通りです。

• - 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, ... など。これらは続く整数列においても多くの例が存在します。

2020年時点で知られている最大のピアポント素数は `3 × 2^1640853 + 1` で、桁数は4939547に及び、2020年10月にその素数性が確認されました。

ピアポント素数の分布

ピアポント素数は、特に稀であるわけではなく、自然数の中で一定のパターンで存在しています。例えば、`10^6`未満には42個、`10^9`までには65個、さらに`10^20`までに157個あることが確認されています。ピアポント素数は、指数が素数でなければならないメルセンヌ素数の条件とは異なり、因数分解に制約がほとんどありません。

一般的に、`2^u 3^v + 1` の形式の数が素数である割合は、全ての正整数における素数の分布と相関します。Andrew M. Gleasonは、この観点から無限に多くのピアポント素数が存在することを主張し、`10^n` 以下には約 `9n` のピアポント素数が存在するとの予想を立てました。

素数判定法

ピアポント素数の素性を判定する方法として、数式 `2^u > 3^v` の場合、`M = 2^u 3^v + 1` がプロス数であるためプロスの定理を適用できます。一方、`2^u < 3^v` の場合には、Williams と Zarnke の定理を用いて判定します。

他の関連トピック

ピアポント素数は、フェルマー数の因数としても関与することがあります。特に、フェルマー数の因数探索の過程でいくつかのピアポント素数が因数として見つかっています。
数学的作図においても、特定条件下で正多角形を作成するのに必要な特徴を持つことが知られています。特に、`N = 2^m 3^n ρ` の形式で表される数の辺を持つ正多角形が作図可能であることが示されています。
また、第2種ピアポント素数や一般化ピアポント素数に関する研究も行われており、これらは異なる特徴をもって数論の中で利用されています。

以上のように、ピアポント素数はその特異な性質から、数論や幾何学、さらには計算機科学など、多岐にわたる分野で重要な役割を果たしています。

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