プロス数

プロス数とプロス素数について

プロス数（Proth number）とは、特定の式を満たす自然数のことを指しています。この数は、フランスの数学者フランソワ・プロスの名前にちなんで名付けられました。プロス数は、以下の式で表されます。

$$
N = k imes 2^n + 1
$$

ここで、$k$は正の奇数、$n$は正の整数であり、さらに重要な条件として$2^n > k$が求められます。これは、無限に存在する奇数がこの式から生成されるのを防ぐためのもので、プロス数の計算において重要な役割を果たします。プロス数の最初の数項には、3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241などが含まれています。

プロス数の特殊ケース

プロス数には、カレン数（$n imes 2^n + 1$）やフェルマー数（$2^{2^n} + 1$）といった特殊な形式も存在し、これらはプロス数の一部として考えることができます。

プロス素数とは

プロス数の中でも特に素数であるものをプロス素数（Proth prime）と呼びます。プロス素数の最初の数項には、3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857などが挙げられます。興味深いことに、これらのプロス素数は無限に存在するという予想がありますが、具体的に証明されたわけではありません。

素数判定法

プロス素数が素数かどうかを判定する方法として、プロスの定理を用いることができます。具体的には、プロス数$p$に対して、以下の合同式を満たす整数$a$を見つけることが必要です。

$$
a^{(p-1)/2} rac{ ext{mod} ext{ } p }{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } ext{ } = -1
$$

この条件を満たしている場合、プロス数$p$はプロス素数であると言えます。具体的には、$a^{(p-1)/2}$に1を加えた数が$p$で割り切れるような$a$を探すことになります。

最大のプロス素数

2016年に発見された最大のプロス素数は、計算式$10223 imes 2^{31172165} + 1$によって表されるもので、その桁数は9,383,761に達します。これは、メルセンヌ素数ではない既知の素数の中で最大の数でもあり、この数の素数であることが2016年11月6日に、PrimeGridプロジェクトの研究者Péter Szabolcsによって発表されました。

まとめ

プロス数とプロス素数は、数学の中でも特に興味深いテーマの一つです。その性質や構成方法は、数学的な探求心を刺激します。今後、さらなる発見や研究が期待されます。

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