ピタゴラス三体問題

ピタゴラス三体問題について

ピタゴラス三体問題（Pythagorean problem of three bodies）またはブラーウの問題は、質量比3:4:5の3つの質点が直角三角形の頂点に配置された時の動態を考察する問題です。この問題の名称は、古代ギリシアの数学者ピタゴラスとデンマークの数学者カール・ブラーウの名前に由来しています。

問題の背景

この問題は1913年にブラーウによって最初に研究され、その後1967年にはシェベヘリーとピーターズがコンピュータを用いて数値的な解を導出しました。その結果、この系は一つの質点がエスケープし、残る二つの質点が連星を形成するという結論に至りました。この結果は、近接散乱や天体のエスケープ、近接連星の形成といった重力のある系での興味深い現象の理解を深めるものです。

歴史的脈絡

ピタゴラス三体問題の研究は1893年に遡り、エルンスト・マイセルがカール・ブラーウとの議論の中でこの初期条件から周期的な進化が生じるとの予想を立てたことから始まります。しかし、三体問題の解の挙動に対する理解は限られていました。特に質量が全て同程度である状況下での解を探すため、ブラーウは1913年にピタゴラス三角形の初期条件の下での系の進化を計算しました。彼は近接散乱までの軌道進化の一部を得ることができましたが、限界がありました。

その後、電子計算機の登場により、天文学者や物理学者たちがこの問題解決に取り組むことになり、特にイェール大学のシェベヘリーらは1967年に数値計算による詳細な解を発表しました。この解は周期的ではなく、エスケープと連星形成を示していましたが、その近傍には周期解が存在することも示唆されました。

数値的解の挙動

ここでは、ピタゴラス三体問題における質量3、4、5の粒子の進化について説明します。これらの粒子は初めに直角三角形の頂点に配置され、初期状態では速度はゼロと設定されます。初期条件として、質量3の粒子は位置(1, 3)、質量4は(-2, -1)、質量5は(1, -1)に配置されます。

運動方程式に従って系を発展させていくと、様々な近接散乱が起こります。特に、時刻t=1.879において粒子間での近接散乱が発生し、その後も定期的に散乱を繰り返します。この過程で、最も距離が接近する瞬間がt=15.830で訪れ、ここでは相互作用が強くなります。

その後、運動が進行するにつれて、時刻t=47には一つの質点が他の二つの質点から弾き飛ばされ、最終的に質点の1体が無限遠へエスケープし、残る二体が連星を形成します。こうした進化から、ピタゴラス三体問題は「elliptic-hyperbolic」な漸近解として分類されます。

結論

ピタゴラス三体問題はその複雑な動態により、多くの研究者にとって興味深い対象となっています。この問題が示すように、わずかな初期条件の変化が最終的な動態に大きな影響を与え、カオスな性質を持つことが明らかとなっています。シェベヘリーらの研究は、三体問題が持つ運動の予測の難しさを多くの人々に理解させる契機となりました。

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