質点

質点：力学の基本概念

質点とは、力学において用いられる理想化された物体の概念です。質量を持ち、位置が一意的に定まるという特徴を持ちますが、それ以外の性質、例えば体積、形状、内部構造などは一切考慮しません。つまり、大きさを持たない点として扱われます。これは、複雑な物体の運動を解析する際に、その本質的な要素に焦点を当てるための近似モデルとして非常に有用です。

質点は、点粒子の一種と見なすことができます。驚くべきことに、球対称な質量分布を持つ剛体物体は、その重心運動を考える限りにおいては、全質量を重心に集中させた質点として扱うことができ、近似ではなく完全に一致することが初等的な積分計算によって示せます。これは、例えば惑星の太陽の周りの公転軌道を計算する際に、惑星を質点として扱っても、球体として計算した場合と全く同じ結果が得られることを意味します。ただし、この例においては、多体問題の厳密解が存在しないため、近似の精度は問題の複雑さに依存します。質点近似の妥当性は、真の質点が存在するか否かではなく、対象とする問題において、質点として扱うことで厳密解と一致するか否かで判断されます。

質点系とその力学

複数の質点からなる系を質点系と呼びます。質点系の力学では、個々の質点の運動だけでなく、質点系全体の運動も考察します。質点系を扱う際には、各質点に番号を付与し、総和記号を用いて式を簡潔に表現することが一般的です。

質点の運動方程式

古典力学において、質量 m、速度ベクトル v、位置ベクトル r の質点の運動方程式は、次のように表されます。

F = m a = dp/dt

ここで、F は質点に働く外力、a は加速度、p は運動量（p = m v）です。この式は、ニュートンの運動の第2法則を表しています。

重心の運動方程式

質点系において、重心と呼ばれる特別な点が定義できます。重心は、質点系の全質量を集中させた点であり、その運動は質点系全体の運動を代表します。重心の位置ベクトル r_G と全質量 M を用いると、重心の運動方程式は次のように表されます。

P = M v_G

dP/dt = ΣF_i

ここで、P は全運動量、v_G は重心の速度、F_i はi 番目の質点に働く外力です。重要な点として、内力は重心の運動には影響を与えません。外力の総和がゼロの場合、または外力が働かない系では、全運動量は保存されます。

質点の数が無限大で、連続的に分布している系では、重心の位置は積分を用いて次のように表せます。

r_G = (1/M) ∫_V ρ(r) r dV

ここで、ρ(r) は位置 r における質量密度、V は質点の分布領域です。

相対座標の運動方程式

2つの質点 A と B の系を考えます。それぞれの質量を m_A、m_B、位置ベクトルを r_A、r_B とします。作用・反作用の法則を考慮し、運動方程式を組み合わせることで、相対座標 r = r_B - r_A の運動方程式が得られます。

μ d²r/dt² = F_B - F_A

ここで、μ = m_Am_B/(m_A + m_B) は換算質量と呼ばれます。この式は、換算質量 μ を持つ質点が相対速度で運動する際の運動方程式と解釈できます。

特に、m_A << m_B の場合、換算質量は m_A と近似でき、質量 m_A の質点が静止した質量 m_B から力を受けて運動する系として扱えます。人工衛星の地球周りの運動は、この近似を用いて解析することができます。

衝突

2つの質点の衝突について考えます。外力が無視でき、位置エネルギー変化も無視できる場合、運動量保存則から、衝突前後の運動量は保存されます。また、衝突が弾性衝突（運動エネルギーが保存される）である場合、運動エネルギーも保存されます。そうでない場合は非弾性衝突であり、完全非弾性衝突（衝突後に一体となる）も含まれます。反発係数 e を用いて、弾性衝突 (e = 1)、非弾性衝突 (0 < e < 1)、完全非弾性衝突 (e = 0) を定義できます。

現実の衝突では、運動エネルギーの一部は熱エネルギーや振動エネルギーなどに変化します。また、質点は理想化されたモデルなので、現実の物体では回転運動や変形によるエネルギー変化も考慮する必要があります。

力のモーメント

質点系の力のモーメントは、全質点の外力のモーメントの総和に等しく、内力のモーメントには依存しません。

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