ピタゴラス素数

ピタゴラス素数とは

ピタゴラス素数は、4n + 1 の形をした素数のことを指します。これらの素数は、2つの平方数の和として表現できる奇数の素数でもあります。つまり、あるピタゴラス素数 p に対しては、p = x² + y²（x, y は整数）となる組み合わせが存在します。この性質は、ピタゴラスの定理に基づいており、直角三角形の斜辺が整数であることと関連しています。

例えば、ピタゴラス素数の一例として 5 を考えます。5 の平方根である √5 は、直角を挟む辺の長さが1と2の直角三角形の斜辺の長さに対応します。すなわち、√5 という数が、整数の辺を持つ直角三角形において重要な役割を持つのです。さらに、5 自体は3と4の辺を持つ直角三角形の斜辺でもあります。

ピタゴラス素数のリスト

最も小さいピタゴラス素数は以下の通りです：
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113…
この数列は無限であることが算術級数に関するディリクレの定理によって証明されています。興味深いことに、ピタゴラス素数と非ピタゴラス素数はほぼ均等に存在しますが、特定の正整数 N を選んだ場合、N 以下のピタゴラス素数が非ピタゴラス素数よりも少ないことがあります。この現象は「チェビシェフの偏り」とも呼ばれています。

具体例を挙げると、600,000 以下の数において、26861 および 26862 以外では N 以下のピタゴラス素数が非ピタゴラス素数より多くなることはありません。

二つの平方数の和

奇数が 4n + 1 の形を取る場合、必ず二つの平方数の和として表されますが、逆に 21 のように特定の数が 4n + 1 の形をしていても、二つの平方数の和には表せない場合があります。フェルマーによれば、2 及び 4n + 1 の形を持つ素数は必ず二つの平方数の和に表現することが可能であり、この効用はこれに限定されます。二つの平方数の和に表す方法は一意であり、順序を問わなければ同じものとみなされます。私たちの定義から、ピタゴラス素数が p である場合、p = x² + y² となる点も重要です。これにより、(x, y, √p) が直角三角形の3辺の長さとして成立します。

ガウス整数との関連

ピタゴラス素数を理解するもう一つの視点は、ガウス整数を利用することです。ガウス整数の形式は、実部と虚部がともに整数の複素数です。例えば、x + yi という形式を考えたとき、ガウス整数のノルム（x² + y²）はピタゴラス素数を表すことが可能です。他の素数はこの形で表すことはできないため、ピタゴラス素数はガウス整数の観点からも特別な存在として位置付けられます。

平方剰余に関する法則

平方剰余に関する法則では、異なる奇素数 p と q が存在する場合、少なくとも一方がピタゴラス素数であるなら、p が q を法として平方剰余となることと、q が p を法とすることが同値だとされています。この理論により、p がピタゴラス素数であれば、Z/p において方程式 x² = -1 は二つの解を持つことが論じられています。逆に、非ピタゴラス素数ならば −1 は平方非剰余となります。

ピタゴラス素数の無限性の証明

ピタゴラス素数の無限性は、算術級数定理を用いることなく、通常の素数が無限であることのユークリッドの証明を利用して初等的に示すことができます。特に、ピタゴラス素数に関しては、第一補充法則が必要です。

最後に、ピタゴラス素数の存在によって直角三角形が持つ幾何学的な側面とも関連しており、数学の深い世界における貴重な構成要素であると言えます。

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