ガウス整数

ガウス整数について

ガウス整数（Gaussian integer）とは、整数の実部と虚部を持つ複素数の一種で、形状としては a + bi （ただし、a と b は共に整数）の形で表されます。この名称の由来は、数学者カール・フリードリヒ・ガウスがこの概念を導入したことにあります。彼はこの数を「複素整数」と呼びましたが、現代ではガウス整数という名称が広く用いられています。

通常の整数は b = 0 の場合のガウス整数であり、これを区別するために、有理整数と呼ばれることがあります。ガウス整数はその構造上、個別の整数を考えるのではなく、集合として全体を扱う方が自然です。これにより、ガウス整数全体の集合は Z[i] と呼ばれ、ガウス整数環と表現されます。この環は、加法と乗法に関して閉じており、整域の特性を持っています。

ガウス整数環の構造

ガウス整数環 Z[i] は、次のように定義されます。

Z[i] := { a + bi | a, b ∈ Z }

ここで、Z は有理整数環を示します。ガウス整数環は、複素数体 C の部分環であり、数学における重要な構造を成します。さらに、ガウス整数環はそのままガウス数体の整数環でもあります。

ガウス整数のノルムとトレース

ガウス整数 α = a + bi のノルム N は、ノルムは次のように定義されます。

N(a + bi) := a² + b²

このノルムは非負の整数であり、ガウス整数に対して乗法的性質を有します。すなわち、ガウス整数 α および β に対して N(αβ) = N(α)N(β) が成り立ちます。

さらに、α の共役を a - bi とし、その和をトレースと、積をノルムと呼びます。

整除性の定義

ガウス整数環においても「約数」や「倍数」の概念が定義されます。もしガウス整数 α が β の約数であるならば、β = αγ を満たすガウス整数 γ が存在するということを意味します。ガウス整数環の単数は、1, -1, i, -i の4つのみであり、これらを用いた約数の定義が行われます。

公約数と最大公約数

複数のガウス整数の共通する約数を公約数と呼び、その公約数が単数のみである場合、それらは互いに素であるといえます。また、ガウス整数間における最大公約数の定義については、最大公約数の「最大」とはノルムに関しての最大を意味します。つまり、最大公約数が存在しない環では意義を成さないこともあります。

特徴的な性質と素因数分解

ガウス整数環は特に素元分解整域としての特性を持ち、任意のガウス整数は、その因数を乗法的な順序や同伴による違いを除いて、ガウス素数の積として一意に表現することができます。

ガウス素数

ガウス整数環の素数にあたるガウス素数には、ノルムが2のもの（±(1 + i) と ±(1 - i)）、ノルムが4n + 1 の形式を持つ有理素数、4n + 3 の形式の素数があげられます。これらの数は、互いに素な性質や平方数としての性質も持ちあわせています。

応用に関する例

例えば、ピタゴラス数の公式において、ガウス整数の分解を用いたアプローチが可能です。これは、原始的なピタゴラス数が数の特定の形式を持っていることから導き出されます。

また、4乗剰余の相互法則もガウス整数環での研究から生まれ、代数的整数論において重要な役割を果たすことが指摘されています。

結論

ガウス整数はその構造的な特性と多様な数理的背景から、代数的整数論における基盤を形成する重要な概念です。ガウス自らの研究が現代の代数理論にどのように影響を与えたかを考えると、その運用と理解は今も続いています。

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