ファウルハーバーの公式

ファウルハーバーの公式

ファウルハーバーの公式とは、数学において連続する自然数の冪乗（べきじょう）の和を計算するための重要な公式です。具体的には、1から始まるn個の自然数のk乗の総和、すなわち S_k(n) = 1^k + 2^k + \dotsb + n^k を、変数nに関する多項式の形で表す際に用いられます。

この公式は、17世紀のドイツの数学者であるヨハン・ファウルハーバーの名を冠していますが、公式の中心的な要素であるベルヌーイ数を発見し、それを用いてこの一般的な形の公式を初めて与えたのは、同時代の日本の数学者である関孝和とスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイであるとされています。発見がほぼ同時期であったため、どちらが先に到達したかは明確ではありません。そのため、「ファウルハーバーの公式」という名称は必ずしも唯一のものではなく、「ベルヌーイの公式」や、内容を直接示す「冪乗和の公式」などと呼ばれることもあります。

公式の表現

ファウルハーバーの公式は、ベルヌーイ数 B_j を用いて以下のように記述されます。

S_k(n) = \frac{1}{k+1} \sum_{j=0}^k \binom{k+1}{j} B_j n^{k+1-j}

ここで、B_j はj番目のベルヌーイ数、$\binom{k+1}{j}$ は二項係数を表します。

ベルヌーイ数はいくつかの方法で定義されますが、例えば B₀ = 1 とし、kが1以上の整数に対して $\sum_{i=0}^k (-1)^i \binom{k+1}{i} B_i = 0$ という漸化式のような関係式によって帰納的に定めることができます。

この公式を見るとわかるように、S_k(n) はnに関するk+1次の多項式として表されることがわかります。特に、最高次の項は n^(k+1)/(k+1) となり、n¹ の項は B_k n、定数項は常に 0 になります。

略式の表現

公式の形は一見複雑に見えますが、ベルヌーイ数を記号Bとして形式的に扱うことで、より簡潔に表現する略式表示が知られています。これは、二項定理 $(a+b)^m$ の展開を応用したものです。例えば、$(n+B)^{k+1}$ を形式的に展開する際に、Bの冪乗 $B^j$ を添え字を下付きにしたベルヌーイ数 B_j で置き換える、という約束事を設けるのです。この略記法を用いると、ファウルハーバーの公式は次のように表現できます。

S_k(n) = \frac{(n+B)^{k+1} - B^{k+1}}{k+1}

より正確には、ベルヌーイ数を対応させる線形写像を用いた表現となりますが、この略記法は公式の構造を捉える上でしばしば有用です。

具体例

初めのいくつかのベルヌーイ数は B₀ = 1, B₁ = 1/2, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = −1/30 です。これらを用いると、いくつかの冪乗和の公式を具体的に求めることができます。

S₀(n) = 1⁰ + 2⁰ + \dotsb + n⁰ = n
S₁(n) = 1¹ + 2¹ + \dotsb + n¹ = $\frac{n(n+1)}{2}$
S₂(n) = 1² + 2² + \dotsb + n² = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
S₃(n) = 1³ + 2³ + \dotsb + n³ = $(\frac{n(n+1)}{2})^2$
S₄(n) = 1⁴ + \dotsb + n⁴ = $\frac{n(n+1)(2n+1)(3n² + 3n - 1)}{30}$
S₅(n) = 1⁵ + \dotsb + n⁵ = $\frac{n²(n+1)²(2n² + 2n - 1)}{12}$
* S₆(n) = 1⁶ + \dotsb + n⁶ = $\frac{n(n+1)(2n+1)(3n⁴ + 6n³ - 3n + 1)}{42}$

これらの式は、それぞれの冪乗和がnに関する多項式として表されていることを示しています。

歴史的背景

連続する自然数の和であるS₁(n)や、平方数の和 S₂(n)は、古くは古代ギリシャのアルキメデスの時代から研究されていました。立方数の和 S₃(n) = (S₁(n))² という関係は、1世紀のニコマコスや西暦500年頃のアリヤバータによって明示的に与えられ、イスラム世界ではアル＝カラジが数学的帰納法を用いた証明を行いました。4乗和の公式はイブン・アル・ハイサムによって与えられ、彼はその方法を拡張すれば任意の冪乗和が求められることを示唆しました。

17世紀に入ると、フェルマーが一般的な冪乗和の公式とその証明を得たと言及しましたが、その詳細は明らかにされませんでした。一方、ヨハン・ファウルハーバーは1631年の著作で、17乗和までの具体的な公式を発表しました。彼は一般的な公式には到達しませんでしたが、S_k(n) が k が奇数の場合に S₁(n) の多項式で表せること、k が偶数の場合に S₂(n) で割り切れ、その商が S₁(n) の多項式で書けることなど、冪乗和多項式の重要な構造的性質を指摘しました。これらの性質は、後にヤコビによって再発見され、厳密に証明されました。

ベルヌーイ数を用いて、任意の自然数kに対する冪乗和 S_k(n) をnの多項式として表す一般的な公式が初めて文献に現れたのは、関孝和の遺稿である『括要算法』（1712年刊行）と、ヤコブ・ベルヌーイの遺稿である『推測術』（Ars Conjectandi、1713年刊行）です。どちらも著者の死後に出版されたため、どちらが先に公式を発見したかは断定できません。ヤコブ・ベルヌーイは自身の公式を用いて、1から1000までの10乗の和をわずか8分ほどで計算したという逸話を残しています。

日本の数学教育では、(x+1)^k - x^k の展開を利用して冪乗和の公式を帰納的に導出する方法が教えられることが一般的であり、特に S₀(n), S₁(n), S₂(n), S₃(n) の公式は基本的な結果として学習・記憶されます。

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