ファトゥの補題

ファトゥの補題

数学の分野、特にルベーグ積分の理論において、ファトゥの補題（英: Fatou's lemma）は、ある関数列の収束に関する重要な不等式です。フランスの数学者、ピエール・ファトゥにちなんで名付けられました。この補題は、ルベーグの優収束定理やファトゥ・ルベーグの定理など、積分の収束に関する他の基本的な定理を証明する上で不可欠な役割を果たします。

標準的な主張

ファトゥの補題の最も基本的な形は、以下のように述べられます。

$(S, \Sigma, \mu)$を測度空間とします。つまり、$S$は集合、$\Sigma$はその上の完全加法族（σ-集合体）、$\mu$は$\Sigma$上の測度です。$f_1, f_2, f_3, \ldots$ を、この測度空間上で定義された非負の可測関数からなる列とします。これらの関数は、各点において正の無限大（$+\infty$）の値を取ることも許容されます。関数$f: S \to [0, \infty]$ を、関数列の下極限として各点ごとに定義します。

$$f(s) = \liminf_{n\to\infty} f_n(s), \quad s \in S$$

このとき、$f$は可測関数であり、以下の不等式が成り立ちます。

$$\int_S f\,d\mu \leq \liminf_{n\infty} \int_S f_n\,d\mu$$

すなわち、関数列の下極限の積分は、積分値の列の下極限以下になります。積分の値が無限大となる場合も含まれます。

証明の概要

ファトゥの補題にはいくつかの証明方法がありますが、代表的なものとして直接的な証明と単調収束定理を用いた証明があります。

1. 直接的な証明: この証明では、まず関数がほとんど至る所で収束する場合に話を限定し、その後でより一般的な場合を扱います。ルベーグ積分の定義に基づき、積分が無限大の場合と有限大の場合に分けて議論を進めます。特に、積分値が有限である場合は、単関数の積分との比較を通じて不等式が導かれます。
2. 単調収束定理を用いた証明: こちらの証明はより簡潔です。関数列$f_n$の下限を取って得られる関数列$g_k = \inf_{n\geq k} f_n$ を考えます。この関数列$g_k$は単調増加であり、その極限は元の関数列の下極限$f$に一致します。単調収束定理を関数列$g_k$に適用し、積分の単調性と下極限の定義を組み合わせることで、求める不等式が導かれます。

厳密な不等号と条件の重要性

ファトゥの補題の不等式は、等号が成り立たない場合があることに注意が必要です。例えば、単位区間$[0, 1]$上のルベーグ測度空間において、$x \in (0, 1/n)$のとき$f_n(x)=n$、それ以外のとき$f_n(x)=0$と定義される関数列を考えると、各点収束先はゼロ関数（積分値0）ですが、各$f_n$の積分値は1であり、積分の下極限は1となります。この場合、$0 < 1$となり、厳密な不等号が成り立ちます。

また、ファトゥの補題が非負関数に対して成立するという条件は重要です。関数列が負の値を取り得る場合、補題の主張は一般には成り立ちません。例えば、半直線$[0, \infty)$上で、$x \in [n, 2n]$のとき$f_n(x) = -1/n$、それ以外のとき$f_n(x) = 0$となる関数列を考えると、関数列はゼロ関数に一様収束しその積分は0ですが、各$f_n$の積分値は-1となり、積分の下極限は-1となります。この場合、$0
ot\leq -1$となり、不等式は成り立ちません。

逆ファトゥの補題と拡張

ファトゥの補題と関連して、上極限に関する逆ファトゥの補題があります。関数列$f_n$に可積分な上界$g$（つまり、$f_n \leq g$かつ$\int_S g\,d\mu < \infty$を満たす関数$g$）が存在する場合に、上極限に関する以下の不等式が成立します。

$$\limsup_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu \leq \int_S \limsup_{n\to\infty} f_n\,d\mu$$

これは、非負関数列$g - f_n$に対して標準的なファトゥの補題を適用することで証明できます。

さらに、標準的なファトゥの補題は、関数列に可積分な下界（つまり、$f_n \geq -g$かつ$\int_S g\,d\mu < \infty$を満たす非負可積分関数$g$）が存在する場合や、関数列が各点収束または測度収束する場合にも拡張されます。また、積分に用いる測度自身が収束するような状況（変化する測度）におけるファトゥの補題も存在します。

条件付き期待値への応用

確率論において、ファトゥの補題は確率変数に対しても適用されます。特に、条件付き期待値に関するファトゥの補題も存在します。非負の確率変数列$X_1, X_2, \ldots$と部分$\sigma$-加法族$\mathcal{G}$に対して、以下の不等式がほとんど確実に成り立ちます。

$$\mathbb{E} \Big[ \liminf_{n\to\infty} X_n \,\Big|\, \mathcal{G} \Big] \leq \liminf_{n\to\infty} \mathbb{E} [X_n | \mathcal{G}]$$

これは、条件付き期待値に対する単調収束定理を用いることで証明されます。

確率変数が負の値も取り得る場合でも、その負の部分が一様可積分であるという追加条件があれば、同様の不等式が条件付き期待値についても成立します。

ファトゥの補題とその拡張は、確率論における収束定理や様々な解析的な議論において基礎的なツールとなっています。

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