ルベーグ測度

ルベーグ測度とは



数学におけるルベーグ測度とは、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積といった概念を一般化したものです。フランスの数学者アンリ・ルベーグによって導入され、実解析、特にルベーグ積分において不可欠な役割を果たします。

測度の基本概念



体積の基本的な性質として、「互いに素な集合の体積は、それぞれの体積の和に等しい」という加法性があります。ルベーグ測度は、この加法性を維持しつつ、より広範な集合に対して「体積」を定義できるように拡張したものです。この拡張は一意に定まります。

ルベーグ測度は、通常の体積と同様に無限大（∞）の値を取り得る点も特徴です。解析学で扱う多くの集合に対してルベーグ測度を与えることが可能ですが、選択公理を用いることで、ルベーグ測度を与えることができない（加法性が成り立たない）集合の存在も証明されています。ルベーグ測度を与えることができる集合は「ルベーグ可測」と呼ばれます。

ルベーグ可測な集合Aの測度は λ(A) で表されます。

ルベーグ測度の例



  • - 閉区間 [a, b] の一次元ルベーグ測度は b - a です。
  • - 開区間 (a, b) の一次元ルベーグ測度も同様に b - a です。これは、閉区間と開区間の差集合（両端点のみから成る集合）の測度が0であるためです。
  • - 二次元の集合Aが、一次元区間 [a, b] と [c, d] の直積集合（長方形）である場合、Aの二次元ルベーグ測度は (b - a)(d - c) となります。
  • - 可算集合のルベーグ測度は必ず0です。カントール集合は、測度0の非可算集合の例として知られています。

ルベーグ測度の性質



n次元ユークリッド空間 Rn の n次元ルベーグ測度 λn （または単に λ）は、以下の性質を持ちます。

1. 区間の直積の測度: A が一次元区間の直積 I1 × I2 × ... × In であるとき、A はルベーグ可測であり、λ(A) = |I1|⋅|I2|⋅...⋅|In| となります。ここで、|J| は区間 J の長さを表します。
2. 加法性: A が互いに素なルベーグ可測集合の可算個の合併であるとき、A はルベーグ可測であり、λ(A) は各集合の測度の和に等しくなります。
3. 補集合の可測性: A がルベーグ可測ならば、その補集合もルベーグ可測です。
4. 非負性: 任意のルベーグ可測集合 A に対して、λ(A) ≥ 0 です。
5. 単調性: ルベーグ可測集合 A, B について、A ⊆ B ならば λ(A) ≤ λ(B) です。
6. 可算和・共通部分の可測性: 可算個のルベーグ可測集合の和集合や共通部分もルベーグ可測です。
7. 開・閉集合の可測性: Rn の開集合や閉集合はルベーグ可測です。
8. 零集合: λ(A) = 0 となるルベーグ可測集合 A （零集合）の部分集合はすべて零集合です。
9. 平行移動不変性: ルベーグ可測集合 A と Rn の元 x に対して、A の平行移動 A + x はルベーグ可測であり、λ(A + x) = λ(A) です。

ルベーグ測度の構成



ルベーグ測度は、カラテオドリの拡張定理を用いて構成されます。具体的には、以下の手順で定義されます。

1. n次元区間（超矩形）の定義: n次元区間（超矩形）とは、一次元区間の直積で表される集合です。
2. 区間の容積: 区間 B の容積 vol(B) は、各区間の長さの積で定義されます。
3. 区間塊の定義: 区間塊とは、高々可算個の区間の集まりです。
4. ルベーグ外測度の定義: 任意の部分集合 A のルベーグ外測度 λ(A) は、A を覆う区間塊の容積の和の下限として定義されます。
5. ルベーグ可測性の定義: 部分集合 A がルベーグ可測であるとは、任意の集合 S に対して、カラテオドリの条件：λ(S) = λ(S ∩ A) + λ(S - A) を満たすことです。
6. ルベーグ測度の定義: ルベーグ可測な集合 A のルベーグ測度 λ(A) は、λ*(A) として定義されます。

その他の測度との関係



  • - ボレル測度が定義される集合においては、ルベーグ測度と一致しますが、ルベーグ可測な集合はより広範囲です。
  • - ハール測度は、ルベーグ測度の一般化であり、局所コンパクト群で定義されます。
  • - ハウスドルフ測度は、ルベーグ測度を一般化したもので、n次元以下の集合の測度を定義するのに役立ちます。

注意点



  • - ヴィタリの定理により、ルベーグ可測でない集合の存在が示されています。
  • - ルベーグ可測でない集合は、バナッハ＝タルスキーのパラドックスなど、奇妙な振る舞いを示すことがあります。

歴史



アンリ・ルベーグは、1899年から1901年にかけて測度に関する論文を発表し、1902年に博士論文「積分・長さ・面積」の一部としてルベーグ測度を導入しました。

参考文献



  • - Weisstein, Eric W. "Lebesgue Measure". mathworld.wolfram.com
  • - Lebesgue measure - PlanetMath.
  • - Sazonov, V.V. (2001), “Lebesgue measure”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer.
  • - Lebesgue measure in nLab
  • - Definition:Lebesgue Measure at ProofWiki

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