フィッシャーの正確確率検定

フィッシャーの正確確率検定

フィッシャーの正確確率検定は、標本が小さい際における2つのカテゴリーデータの関係を分析するための重要な統計手法です。この検定法は、特に2×2分割表において、データの分布が無作為でないかを判断するために使用されます。1770年代にロナルド・フィッシャーによって考案され、彼の名前が付けられています。

検定の概要

この検定は、2つのカテゴリー（例えば、ダイエットしているかしていないか）と2つの集団（例えば、男性と女性）の間に実際に関連があるかどうかを検定する際に利用されます。特に、サンプルサイズが小さく、各セルの期待値が10未満の場合には、カイ二乗検定ではなくフィッシャーの検定が適します。これにより、不正確な判断を避けることができます。

2×2分割表の具体例

例えば、男性と女性の集団を「現在ダイエット中」と「ダイエット中でない」に分けて、その割合の違いを評価します。以下のような分割表でデータを整理します：


この場合、各セルの値（a, b, c, d）によって検定を行ないます。フィッシャーの正確確率検定は、特定の数値の組み合わせが得られる確率を示すために、超幾何分布を用います。

確率の計算

フィッシャーの検定では、次の式を用いて確率pを計算します：

$$
p = \frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{n!a!b!c!d!}
$$

ここで、「!」は階乗を示します。この式は、母集団における男と女それぞれのダイエット中・非ダイエット人数の割合が等しいという帰無仮説のもとで確率を与えます。

しかし、実際の検定では単一の観測データから得られる数値だけでなく、観測データよりも極端なすべてのケースを考慮する必要があります。具体的には、元のデータを基に異なるケースを考え、その確率を合計してp値を求めます。前述の例では、p値が0.0014であると仮定します。

検定のタイプ

フィッシャーの検定は、片側検定と両側検定の両方を行うことが可能です。片側検定では、特定の方向に偏ったデータのみを考慮します。一方、両側検定では、両方の方向への偏りを考慮して検定を行います。しかし、両側検定で得られるp値が片側検定の2倍になるとは限りません。

計算とツール

正確確率検定の計算は非常に手間がかかる場合が多く、特にサンプルサイズが大きくなると計算が複雑になります。近年では、専用のソフトウェアや統計パッケージを利用することで、計算の負担を軽減することが可能です。一部のツールでは、1×2および2×2の直接確率検定も実行できる機能が搭載されています。これにより、時間を節約しつつも、信頼性の高い結果を得ることができます。

フィッシャーの正確確率検定は、非常に強力かつ実用的なツールであり、特にデータの分布が小さく、カイ二乗検定が適用できない場合にその効果を発揮します。

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