フィンスラー・ハドヴィッガーの定理

フィンスラー・ハドヴィッガーの定理

フィンスラー・ハドヴィッガーの定理は、ユークリッド平面幾何学における古典的な定理の一つであり、正方形の特定の配置から生まれる興味深い幾何学的性質を明らかにします。この定理は、スイスの数学者ポール・フィンスラーとヒューゴ・ハドヴィッガーによって発見され、1937年に彼らの共同研究として発表されました。彼らはこの定理を、同時期に発表した幾何学的な不等式である「ハドヴィッガー・フィンスラー不等式」とともに世に示しました。

この定理が主張する内容は、以下の設定から始まります。平面上に、共通の一つの頂点を持つ2つの任意の正方形を考えます。具体的には、頂点Aを共有する正方形ABCDと正方形AB'C'D'が存在すると仮定します。ここで、頂点Aから伸びる辺ABとAB'は、どのような角度をなしていても構いません。

この構成において、特定の4つの点を定めます。
1. 正方形ABCDの対角線BDと、もう一方の正方形AB'C'D'の頂点D'を結んだ線分BD'の中点。この点をEとします。
2. 同様に、正方形AB'C'D'の対角線B'Dと、正方形ABCDの頂点Dを結んだ線分B'Dの中点。この点をGとします。
3. 正方形ABCDの中心点。正方形の中心は対角線の交点であり、対角線の中点でもあります。この点をFとします。
4. 正方形AB'C'D'の中心点。同様に、この点をHとします。

フィンスラー・ハドヴィッガーの定理は、これらの4つの点E, F, G, Hを順に結んでできる四角形EFGHが、必ず正方形になるという美しい結論を述べています。

この定理の結論として得られる四角形EFGHは、「フィンスラー・ハドヴィッガーの正方形」と呼ばれています。この特別な正方形のサイズや向きは、元の2つの正方形の大きさや、共有する頂点Aの周りでの相対的な角度に依存しますが、その形状は常に正方形です。

さらに詳しく見ると、このフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形EFGHは、元の構成に関わる4つの点B, D, B', D'によって作られる四角形BDB'D'と密接な関係があります。点E, F, G, Hは、それぞれ線分BD', BD, B'D, B'D'の中点であることが分かります（ただし、FはBDの中点、HはB'D'の中点、EはBD'の中点、GはB'Dの中点として定義されています）。これはまさに、四角形BDB'D'の辺BD', B'D, BD, B'D'（実際には順序が異なりますが）の中点を結んでできる四角形に相当します。ヴァリニョンの定理によれば、任意の四角形の各辺の中点を結んでできる四角形は平行四辺形になります。したがって、フィンスラー・ハドヴィッガーの正方形は、四角形BDB'D'に関連するヴァリニョンの平行四辺形の一種と言えます。ヴァリニョンの平行四辺形が正方形になるのは、元の四角形（この場合はBDB'D'）が対角線が直交し、その長さが等しい、いわゆる「直交等対角線四角形」であることと同値です。フィンスラー・ハドヴィッガーの定理は、共通頂点を持つ2つの正方形という構成が、四角形BDB'D'にこの「直交等対角線四角形」という特別な性質を付与することを示唆しています。

フィンスラー・ハドヴィッガーの定理は、それ自体が興味深い幾何学的結果であるだけでなく、他の幾何学的命題を証明するための道具としても利用されます。その一つの重要な応用例として、ヴァン・オーベルの定理の証明が挙げられます。ヴァン・オーベルの定理は、任意の四角形の各辺に外向きに正方形を作るとき、向かい合う辺に作られた正方形の中心同士を結ぶ線分が、互いに等しい長さで直交するという内容です。このヴァン・オーベルの定理の証明を行う際に、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理が効果的に利用される方法が知られています。具体的には、元の四角形ABCDに対して、辺ABとBCをそれぞれ一辺として外側に作られる正方形から得られるフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形と、辺CDとDAをそれぞれ一辺として外側に作られる正方形から得られるフィンスラー・ハドヴィッガーの正方形が、元の四角形ABCDの対角線ACの中点を共有することを示す、という手順が用いられることがあります。このように、フィンスラー・ハドヴィッガーの定理は、一見単純な図形構成の中に隠された深い幾何学的関係性を明らかにする、示唆に富む定理と言えるでしょう。

もう一度検索