フォワード測度

フォワード測度（Forward Measure）

フォワード測度とは、数理ファイナンスの分野で用いられるリスク中立測度の一種であり、価格付けの際に特定の条件を満たす測度です。具体的には、満期が T である債券を用いて計算が行われます。この測度は、特に債券オプションの評価に利用され、1987年にはファルシド・ジャムシディアンによってその利用が初めて示されました。

数学的背景

フォワード測度を理解するためには、まずニュメレール（基準となる量）として使用されるマネーマーケットアカウントや銀行口座について知っておく必要があります。以下のように定義される銀行口座 B(T) に基づきます。

$$ B(T) = ext{exp} \left( \int _{0}^{T} r(u) du \right) $$

ここで、r(u) は時点 u における金利を表します。この銀行口座から、満期 T までの割引ファクター D(T) が次のように導出されます。

$$ D(T) = \frac{1}{B(T)} = ext{exp} \left( - \int _{0}^{T} r(u) du \right) $$

リスク中立測度 Q があるとき、フォワード測度 QT のラドン–ニコディム微分は次のように表されます。

$$ \frac{dQ_{T}}{dQ_{}} = \frac{D(T)}{E_{Q_{}}[D(T)]} $$

この式によって、利子率が非確率的であるならば、フォワード測度とリスク中立測度が一致することが示されています。満期 T のゼロクーポン債の価格は以下のように表されます。

$$ P(t,T) = E_{Q_{}} \left[ \frac{B(t)}{B(T)} | \mathcal{F}(t) \right] = E_{Q_{}} \left[ \frac{D(T)}{D(t)} | \mathcal{F}(t) \right] $$

フォワード測度の特徴

フォワード測度の名の由来は、この測度のもとで先渡し価格がマルチンゲールになることにあります。この特性は、German & (1989) によって初めて発見されました。また、フォワード測度は、利子率が非確率的であれば、先物価格とも一致する特性があります。

たとえば、割引株式価格はリスク中立測度のもとで次のように表されます。$$ S(t) D(t) = E_{Q_{}} [D(T) S(T) | \mathcal{F}(t)] $$

ここで、先渡し価格 FS(t, T) は次のように定義されます。

$$ F_S(t,T) = \frac{S(t)}{P(t,T)} $$

この関係から、満期 T における先渡し価格と実際の株式価格が等しくなることがわかります。

最終的に、フォワード測度のもとで、先渡し価格 FS(t, T) は未来の価格 E_{Q_T}[FS(T,T)|F(t)] と関連があることが示されます。これにより、フォワード測度は非常に役立つツールであることが証明されます。

参考文献

1. Brigo, Damiano; Mercurio, Fabio (2006). Interest Rate Models — Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2 ed.). Springer Verlag.
2. Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2004). Martingale Methods in Financial Modelling (2 ed.). New York: Springer-Verlag.

フォワード測度は、債券オプションの評価や他の金融商品における価格付けにおいて、重要な役割を果たしています。

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