フォーチュン数

フォーチュン数についての解説

フォーチュン数（Fortunate number）とは、特定の条件を満たす自然数のことを指します。自然数 n に対して、最小の整数 m（ただし 1 < m）が存在し、式 pn# + m が素数となる場合、その m がフォーチュン数とされます。ここで、pn# は素数階乗を表します。この概念は人類学者のレオ・フォーチュンにちなんで名付けられました。

フォーチュン数の計算例

例えば、7番目のフォーチュン数を求めるプロセスを見てみましょう。最初に7つの素数の積を考えます。これにより、p7# = 510510 となります。次に、510510 に対して m の値を加えていく過程を追います。

• - まず、m = 2 を加えると、510512 となり、偶数なので素数ではありません。
• - 次に、m = 3 を加え、510513 にすると、これは3の倍数です。
• - m = 4 から m = 18 まで、すべての数を加えますが、どれも素数にはなりません。
• - しかし、m = 19 を加えると、510529 が得られ、これは素数です。

このことから、19はフォーチュン数となります。また、n 番目のフォーチュン数は常に n 番目の素数 pn 以上の値を持ちます。

フォーチュン数の列

フォーチュン数は、以下のような数列を形成しています。
3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ...

ここから重複を取り除いたフォーチュン数の列は、このようになります。
3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 37, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 89, 101, 103, 107, 109, 127, 151, 157, 163, 167, 191, 197, 199, ...

フォーチュン素数

レオ・フォーチュンは、全てのフォーチュン数が素数であるとの予想を立てました。フォーチュン素数は、素数であるフォーチュン数を特に指します。2009年時点では、知られている全てのフォーチュン数はフォーチュン素数であることが確認されています。

参考文献

フォーチュン数の理解を深めるためには、以下の文献やリソースが参考になります：

• - Chris Caldwell の「The Prime Glossary: Fortunate number」
• - Wolfram MathWorld の「Fortunate Prime」
• - ウェルズ, デイビッド 著、伊知地宏・さかいなおみ 訳の『プライムナンバーズ: 魅惑的で楽しい素数の事典』

このように、フォーチュン数は自然数と素数の特別な関係を持ち、多くの数学的な興味を引きつけています。

もう一度検索