フラクタル圧縮

フラクタル圧縮：画像圧縮技術の新たな地平

フラクタル圧縮とは、コラージュ定理を利用した静止画像の非可逆圧縮手法です。自然風景写真からアニメーション画像まで、幅広い種類の画像データに対して高い圧縮率を実現できる点が大きな特徴です。

フラクタル圧縮の原理

この技術の根幹をなすのは、コラージュ定理です。この定理は、原画像の縮小画像から生成されたコラージュが原画像をよく近似する場合、任意の画像から同様に生成されたコラージュも反復処理することで、原画像を良好に近似するというものです。この定理は、フラクタルの一種である反復関数系に関する定理であり、フラクタル圧縮の発明者であるマイケル・バーンズリーによって提唱されました。

従来のピクセルベースの圧縮とは異なり、フラクタル圧縮はピクセル計算に依存しません。そのため、ラスター形式の画像を圧縮対象としながらも、圧縮後のデータは非ピクセルベースの情報となります。この点が、フラクタル圧縮の特異性であり、拡大しても画像劣化が少ないという利点につながります。

厳密には、レンジブロック境界のブロックノイズが拡大時に目立つなど、完全な劣化防止はできません。また、非可逆圧縮であるため、原画像との完全な一致はありえません。

フラクタル圧縮の原理は、縮小関数の反復関数系が必ず不動点を持つという不動点定理に基づいています。例えば、`f(x) = x ÷ 3 + 6`という関数を考えます。この関数を繰り返し適用すると、初期値`x`がどんな値であっても、最終的には9に収束します。この9が不動点です。

画像に対しても同様の関数を考え、その不動点が原画像（またはその近似）となるような縮小関数を見つけ出すことが、フラクタル圧縮の目標です。この縮小関数がコラージュであっても成立することを保証するのがコラージュ定理です。

フラクタル圧縮のアルゴリズム

復号は比較的単純です。任意の画像から始めて、縮小関数を繰り返し適用するだけで済みます。繰り返し回数は、必要に応じて調整できます。

一方、符号化は非常に複雑です。主な手順は以下の通りです。

1. 原画像を小さなブロック（レンジブロック）に分割します。
2. 各レンジブロックに対して、原画像のどの部分をどのように縮小すれば最も近似できるかを探します。この際、原画像をレンジブロックよりも大きなブロック（ドメインブロック）に分割し、ドメインブロックの中から最適な部分を効率的に探します。
3. 各レンジブロックについて、2.で特定した「どの部分」「どのように」を縮小関数として符号化して出力します。「どのように」については、主にアフィン変換を用いて効率化を図りますが、必須ではありません。

しかし、この最適な縮小関数の探索は膨大な計算量を必要とし、符号化に非常に長い時間がかかります。この点が、フラクタル圧縮の商業的な普及を妨げる大きな要因となっています。

フラクタル圧縮の歴史と応用

マイケル・バーンズリーは1987年にフラクタル圧縮を発明し、複数の特許を取得しました。バーンズリーとスローンによるアルゴリズムや、Arnaud Jacquinによる最初の自動化アルゴリズムなどが知られています。

イテレーテッド・システムズ社は、フラクタル圧縮技術の自動化に成功し、アメリカ政府からの資金提供を受けてデジタル画像処理チップの開発も行いました。同社は、オンワン・ソフトウェア社（現onone）やマイクロソフト（エンカルタ）などに技術ライセンスを提供しました。オンワン・ソフトウェア社の「Genuine Fractal 5」（現onone resize）は、画像の拡大時に生じる劣化が少ないことで知られています。

しかし、ウェーブレット変換などの圧縮技術の進歩や、ライセンス形態の問題から、フラクタル圧縮は広く普及するまでには至りませんでした。動画への応用も試みられましたが、当時のコンピュータの処理能力では実用レベルに達しませんでした。

まとめ

フラクタル圧縮は、高い圧縮率と拡大時の劣化抑制という優れた特徴を持つ一方、符号化の計算コストが非常に高く、商業的な成功には至っていません。しかし、その技術的優位性は依然として魅力的で、今後の技術発展によっては、新たな応用が生まれる可能性があります。

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