フリードマン方程式

フリードマン方程式

フリードマン方程式は、現代宇宙論において宇宙全体の力学的振る舞い、特にその膨張や収縮といった時間発展を記述する一連の基本方程式です。

一般相対性理論と宇宙モデル

この方程式は、アルベルト・アインシュタインが提唱した一般相対性理論に基づいて導出されます。一般相対性理論によれば、時空の構造はそこに含まれる物質やエネルギーの分布によって決定されます。宇宙全体を考察する際には、宇宙論の基本原理である「宇宙原理」、すなわち宇宙は大規模に見れば一様で等方であるという仮定がしばしば用いられます。この仮定のもとでアインシュタイン方程式を解くことで得られる厳密解の一つが、「フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量（FLRW計量）」と呼ばれる時空の記述です。フリードマン方程式は、このFLRW計量における時空の運動方程式として導出されます。

方程式の意味

フリードマン方程式は、具体的には宇宙の大きさを表す「スケール因子」$a(t)$ の時間変化を、宇宙に満ちている物質やエネルギーの密度 $\rho$ や圧力 $P$、そして宇宙の幾何学的構造（曲率 $k$）や宇宙項 $\Lambda$ と関連付けます。宇宙項は、時空そのものが持つエネルギー密度と解釈されることがあり、宇宙の膨張を加速させる効果を持つ可能性があります。方程式は通常、時間の微分を含む連立微分方程式の形で表され、宇宙の膨張率（ハッブルパラメータ $H = \dot{a}/a$）とその加速度 $\ddot{a}$ が、宇宙の物質やエネルギーの内容によってどのように決定されるかを示しています。特に、最初の方程式は宇宙の膨張率と、物質密度、曲率、宇宙項の関係を記述しており、宇宙の現在の状態を知る上で極めて重要です。二番目の方程式は、エネルギー・運動量保存則と組み合わせることで最初の方程式から導き出すことが可能です。

宇宙論パラメータとの関連

フリードマン方程式は、宇宙の進化シナリオを予測するための強力なツールです。方程式が描く宇宙のダイナミクスは、主に以下の要素によって決定されます。

宇宙に存在する物質やエネルギーの組成とその状態方程式（圧力と密度の関係）
宇宙の空間的な曲率 $k$ （宇宙が閉じた形（球状）、開いた形（双曲面状）、平坦な形（ユークリッド空間）のどれに近いかを示す）
* 宇宙項 $\Lambda$ の値

これらの要素は、現代宇宙論において「宇宙論パラメータ」として観測的にその値が精密に測定されています。例えば、宇宙項がなく空間的に平坦な宇宙 ($k=0, \Lambda=0$) を仮定したときの物質密度は「臨界密度」と呼ばれ、現在の宇宙の密度がこの臨界密度に比べてどれくらいかを「密度パラメータ $\Omega$」として定義します。ハッブルパラメータ $H$、密度パラメータ $\Omega$、曲率 $k$、宇宙項 $\Lambda$ といった宇宙論パラメータの値を知ることで、フリードマン方程式を用いて宇宙の過去（例えばビッグバン）や未来の姿を計算し、理解することが可能になります。

歴史的背景

フリードマン方程式は、ロシアの宇宙物理学者アレクサンドル・フリードマンによって1922年に初めて発表されました。当時、宇宙は静的であると考えられていましたが、フリードマンはアインシュタイン方程式から時間とともに変化する宇宙モデル（膨張または収縮）が得られることを示しました。これは後に、エドウィン・ハッブルによる宇宙膨張の観測的発見によって裏付けられ、現在の標準的な宇宙モデルであるビッグバンモデルの理論的な基礎の一つとなっています。

このように、フリードマン方程式は、一般相対性理論と宇宙論を結びつけ、観測データと整合性の取れる宇宙モデルを構築するために不可欠な方程式であり、現代宇宙論研究の中心的なツールとなっています。

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