フルビッツ行列

フルビッツ行列とは

フルビッツ行列とは、ドイツの数学者アドルフ・フルビッツによって導入された、実多項式の係数から構成される特殊な正方行列です。この行列は、多項式の安定性を判別するための重要なツールとして知られています。

フルビッツ行列の構成

実多項式 p(z) が以下のように与えられたとします。

math
p(z) = a_0z^n + a_1z^{n-1} + ... + a_{n-1}z + a_n


このとき、多項式 p(z) に対するフルビッツ行列 H(p) は、次のような n 次正方行列として定義されます。

math
H(p) := \begin{bmatrix} a_1 & a_3 & a_5 & a_7 & ... & 0 \ a_0 & a_2 & a_4 & a_6 & ... & 0 \ 0 & a_1 & a_3 & a_5 & ... & 0 \ 0 & a_0 & a_2 & a_4 & ... & 0 \ 0 & 0 & a_1 & a_3 & ... & 0 \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & 0 & ... & a_n \end{bmatrix}


この行列の各要素は、多項式 p(z) の係数 a_i を特定の規則に従って配置したものです。例えば、1行目は a_1, a_3, a_5 ... と奇数番目の係数が並び、2行目は a_0, a_2, a_4 ... と偶数番目の係数が並びます。以降の行は、これらの係数を一つずつずらして配置した形になります。

フルビッツの安定判別法

フルビッツ行列の最も重要な応用の一つが、フルビッツの安定判別法です。この判別法は、実多項式が安定であるための必要十分条件を与えます。ここで、多項式が安定であるとは、その全ての根が複素平面の開左半平面に存在することを意味します。

具体的には、多項式 p(z) が安定であるための必要十分条件は、そのフルビッツ行列 H(p) の全ての主座小行列式が正であることです。主座小行列式とは、行列の左上から順番に正方形状に取り出した部分行列の行列式のことで、以下のように定義されます。

math
\begin{aligned}
\Delta_1(p) &= |a_1| = a_1 > 0 \\
\Delta_2(p) &= \begin{vmatrix}a_1 & a_3\\ a_0 & a_2\end{vmatrix} = a_2a_1 - a_0a_3 > 0 \\
\Delta_3(p) &= \begin{vmatrix}a_1 & a_3 & a_5\\ a_0 & a_2 & a_4\\ 0 & a_1 & a_3\end{vmatrix} = a_3\Delta_2 - a_1(a_1a_4 - a_0a_5) > 0
\end{aligned}


これらの小行列式 Δk(p) が全て正であるとき、多項式 p(z) は安定であると判定できます。これらの小行列式はフルビッツ行列式と呼ばれます。

フルビッツ安定行列

工学分野や安定性理論においては、正方行列 A が安定行列であるとは、その全ての固有値の実部が負であることを意味します。このような行列はフルビッツ安定行列とも呼ばれます。この概念は、微分方程式の解の安定性を議論する上で重要です。

例えば、微分方程式 ẋ = Ax の解が漸近安定である（すなわち、時間が無限大に近づくにつれて x(t) が 0 に収束する）ための条件は、行列 A がフルビッツ安定であることです。

また、伝達関数 G(s) がフルビッツであるとは、その全ての成分の極の実部が負であることを意味します。この概念は、必ずしも正方行列である必要はありませんが、システムが安定であるかどうかを判定するために用いられます。

応用

フルビッツ行列とフルビッツの安定判別法は、制御理論において非常に重要な役割を果たします。システムの制御行列がフルビッツ行列であれば、そのシステムは安定であると結論付けることができます。また、システムの固有値の負の実成分はネガティブフィードバックを表し、正の実成分はポジティブフィードバックを表します。

まとめ

フルビッツ行列は、多項式の係数から構成される特別な行列であり、その主座小行列式を用いることで多項式の安定性を判定できます。この概念は、工学や制御理論におけるシステムの安定性解析において、非常に重要なツールとして活用されています。

参考文献

Hurwitz, A. (1895). “Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt”. Mathematische Annalen Nr. 46, Leipzig: 273–284.
Gantmacher, F.R. (1959). “Applications of the Theory of Matrices”. Interscience, New York 641 (9): 1–8.
Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

関連項目

ラウス・フルビッツの安定判別法

外部リンク

Hurwitz matrix - PlanetMath.org（英語）

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