ラウス・フルビッツの安定判別法

ラウス・フルビッツの安定判別法：制御系の安定性判定

ラウス・フルビッツの安定判別法は、連続時間制御システムの安定性を数学的に判定する強力なツールです。この方法は、システムの特性方程式の係数から、システムが安定であるか不安定であるかを判断します。1874年にラウス、1895年にフルビッツがそれぞれ独立に開発した手法ですが、両者は数学的に等価であることが知られています。離散系におけるジュリーの安定判別法と対応関係にあります。

ラウスの安定判別法

ラウスの方法は、n次特性方程式の係数を用いて、ラウス配列と呼ばれる行列を作成します。

特性方程式は一般的に以下のように表されます。


a_0s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + ... + a_{n-1}s + a_n = 0


ここで、a_0, a_1, ..., a_n は係数です。これらの係数を用いてラウス配列を作成し、最初の列の符号変化を調べます。符号変化の数と不安定根（実部が正の根）の数は一致します。つまり、最初の列に符号変化があれば、システムは不安定であることを示します。

ラウス配列の具体的な構築方法は以下のとおりです。まず、特性方程式の係数を以下の表のように配置します。



その後、以下の漸化式を用いて、残りの行を埋めていきます。


b_1 = (a_1a_2 - a_0a_3) / a_1
b_2 = (a_1a_4 - a_0a_5) / a_1
...
c_1 = (b_1a_3 - a_1b_2) / b_1
...


このようにして作成されたラウス配列の最初の列に符号変化があれば、システムは不安定です。

フルビッツの安定判別法

フルビッツの方法は、ラウスの方法とは異なるアプローチを用いますが、同じ結果を得ます。フルビッツの安定判別法では、特性方程式の係数からフルビッツ行列を構成し、その行列式の正負を判定することで安定性を評価します。

フルビッツ行列は、係数 a_i を用いて以下のように構成されます。


D_1 = a_1
D_2 = | a_1 a_3 |
| a_0 a_2 |
D_3 = | a_1 a_3 a_5 |
| a_0 a_2 a_4 |
| 0 a_1 a_3 |
...


これらの行列式 D_1, D_2, D_3, ... が全て正であれば、システムは安定です。一つでも負の行列式があれば、システムは不安定となります。特性方程式の次数によっては、係数が存在しない場合がありますが、そのような場合は0として扱います。

両手法の比較

ラウスの方法とフルビッツの方法は数学的には等価ですが、計算の手順が異なります。ラウスの方法は、比較的簡潔な計算で安定性を判定できる一方で、高次システムでは計算が複雑になる場合があります。一方、フルビッツの方法は、行列式計算が必要となるため、計算量は増加しますが、システムの安定性の詳細な情報を提供します。

まとめ

ラウス・フルビッツの安定判別法は、制御系の安定性を解析する上で非常に重要なツールです。どちらの方法を用いるかは、システムの次数や計算環境によって選択することができます。これらの手法は、制御システム設計において、安定性の検証やシステムパラメータの調整に広く利用されています。 制御工学、制御理論といった分野で重要な役割を果たしています。有界入力有界出力安定性（BIBO安定）といった概念とも密接に関連しています。

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