ブラリ＝フォルティのパラドックス

ブラリ＝フォルティのパラドックスは、数学の基礎である集合論において発生する、順序数に関する重要な論理的矛盾です。もし「全ての順序数からなる集まり」という概念を素朴に認めると、自己矛盾する結論が得られてしまうことを示唆しています。これは、無限を含む大きな集まりを扱う際の直感と、厳密な論理との間に潜む危険性を浮き彫りにしました。

順序数とは、整列順序を持つ集合の「順序型」を表す概念です。簡単に言えば、数を順番に並べたときの「形」や「長さ」を示すものです。例えば、自然数の列 0, 1, 2, ... は最も基本的な順序数の一つです。順序数同士には自然な大小関係があり、これによって順序数全体を整然と並べることができます。

このパラドックスの中心的な議論は、順序数全体の集まりそのものに注目することから始まります。もし、全ての順序数からなる集まりを一つの「集合」として考えることができると仮定します。この集まりを便宜的にΩと呼びましょう。順序数全体の集まりΩは、順序数同士の大小関係によって整列されています。したがって、Ω自身もまた一つの整列集合と見なすことができます。

整列集合にはそれぞれ固有の順序型、すなわち順序数があります。Ωも整列集合ですから、その順序型を考えることができます。この順序型は、Ωに含まれる全ての順序数よりも大きい順序数となります。そして、この「Ωの順序型」自身もまた一つの順序数であるため、当初定義した「全ての順序数からなる集まり」であるΩに含まれていなければなりません。しかし、これは「Ωの順序型」がΩ自身よりも大きいという性質と矛盾します。

より具体的な説明として、素朴な集合論では、ある順序数αよりも小さい全ての順序数からなる集まりの順序型はα自身と等しくなる、という性質が成り立ちます。この性質をΩに適用すると、「Ωより小さい全ての順序数からなる集まり」の順序型はΩ自身である、ということになります。一方で、一般的に整列集合の「真の切片」（集合の一部であり、その要素が元の集合の特定の要素より小さいもの全てからなる部分）の順序型は、元の集合全体の順序型よりも厳密に小さくなる、という性質があります。Ωより小さい全ての順序数からなる集まりは、Ω全体の集まりの「真の切片」にあたります。したがって、この集まりの順序型は、Ω全体の順序型であるΩよりも小さくなければなりません。しかし、先ほどの性質からはこの順序型はΩ自身と等しいはずでした。結局、「ΩはΩより小さい」という明白な論理的矛盾が導かれてしまうのです。

この矛盾は、フォン・ノイマンによる順序数の定義（順序数をそれより小さい全ての順序数の集合として定義する方法）を用いても同様に発生します。その定義の下では、全ての順序数からなる集まりΩを考えると、Ω自身が順序数となり、その「次の順序数」Ω+1も存在します。定義によりΩ+1は全ての順序数の集まりΩに含まれるはずですが、Ω+1は定義からΩよりも厳密に大きい順序数です。これは、Ωが「全ての」順序数を含んでいるという定義に反する矛盾となります。

ブラリ＝フォルティのパラドックスが示すのは、「全ての順序数の集まり」を集合として構成することの不可能性です。これは、ラッセルのパラドックスと同様に、素朴な集合論における無制限な包括原理（特定の性質を満たすもの全てを集めて集合を作る操作を無制限に認めること）の危険性を示唆しています。

現代の公理的集合論、特にツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）では、無制限な包括原理を制限することでこの種の矛盾を回避しています。具体的には、「全ての順序数の集合」のような集まりは、公理によって集合として存在することを認めない、あるいは構成できないようにしています。ただし、新基礎集合論（NF）のような他の公理系では、異なる方法でこのパラドックスを解消しています。

このパラドックスは、1897年にイタリアの数学者チェザーレ・ブラリ＝フォルティによって発表されたことにその名を由来しますが、その真の発見者についてはバートランド・ラッセルであるという異説も存在します。カントールのパラドックスやラッセルのパラドックスなど、集合論の基礎を揺るがした様々なパラドックスとともに、数学の形式化と集合論の厳密な構築に不可欠な役割を果たしました。

関連項目：カントールのパラドックス、ラッセルのパラドックス

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