公理的集合論

公理的集合論とは

公理的集合論は、集合という概念を厳密に扱うための理論であり、数学の基礎をなすものです。素朴な集合論ではパラドックスが生じるため、集合の性質を定義する公理を設定し、そこから定理を導く形式で展開されます。

現在、最も一般的に用いられている集合の公理系は、ツェルメロ＝フレンケル（ZF）公理系です。さらに、選択公理を加えたZFC公理系も広く使われています。これらの公理系は、数学におけるほとんどの議論を形式的に展開するために十分な基盤を提供します。他にも、置換公理や正則性公理の有無によって、ZC、Z、Z-、ZF-、ZC-、ZFC-といった様々な体系が存在します。キューネンは、初等数学の大部分はZC-の範囲内で展開できると述べています。

基本的なZFの公理

以下に、ZF公理系の主要な公理を解説します。

1. 外延性の公理
二つの集合が同一の要素を持つならば、それらは等しいという公理です。
数式で表すと、以下のようになります。
∀A∀B(∀x(x∈A↔x∈B)→A=B)

2. 空集合の公理
要素を全く持たない集合、つまり空集合が存在するという公理です。
数式では、以下のように表現されます。
∃A∀x(x∉A)

外延性の公理から、空集合はただ一つであることがわかります。それを記号∅で表します。

3. 対の公理
任意の二つの要素xとyに対し、それらのみを要素とする集合{x, y}が存在するという公理です。
数式では以下の通りです。
∀x∀y∃A∀t(t∈A↔(t=x∨t=y))

対の公理も、外延性の公理から一意に定まることがわかります。

特に、{x, x}は{x}と表現されます。この公理によって、順序対や直積集合の存在を導くことができます。

4. 和集合の公理
任意の集合Xに対し、Xの要素の要素をすべて集めた集合（和集合）が存在するという公理です。
数式では、以下のように表現されます。
∀X∃A∀t(t∈A↔∃x∈X(t∈x))

外延性の公理から和集合は一意に定まり、記号⋃Xで表します。

特に、⋃{x, y}はx∪yで表されます。

5. 無限公理
空集合を要素とし、任意の要素xに対してx∪{x}も要素とするような集合が存在するという公理です。
この公理によって、無限集合の存在が保証されます。
数式では、以下のように表現されます。
∃A(∅∈A∧∀x∈A(x∪{x}∈A))

6. 冪集合公理
任意の集合Xに対し、Xの部分集合全体からなる集合（冪集合）が存在するという公理です。
数式では、以下のように表されます。
∀X∃A∀t(t∈A↔t⊆X)

冪集合も、外延性の公理から一意に定まり、記号𝒫(X)または2^Xで表します。

7. 置換公理
関数クラスによる集合の像は集合である、という公理です。
より正確には、論理式ψ(x, y)が、ψ(x, y)∧ψ(x, z)→y=zを満たすとき、任意の集合Xに対して、∃x∈X ψ(x, y)を満たすy全体の集合が存在するというものです。
この公理は公理図式であり、論理式ψごとに公理が存在します。
∀x∀y∀z((ψ(x,y)∧ψ(x,z))→y=z)→∀X∃A∀y(y∈A↔∃x∈Xψ(x,y))

8. 正則性公理（基礎の公理）
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つという公理です。
数式では、以下のように表現されます。
∀A(A≠∅→∃x∈A,∀t∈A(t∉x))

この公理は、集合が無限に要素を持ち続けることを防ぐ役割があります。ジョン・フォン・ノイマンによって導入されました。

選択公理

選択公理は、ZFC公理系に選択的に追加される公理です。

互いに交わらない空でない集合の集合Xに対し、各集合から一つずつ要素を取り出した集合（選択集合）が存在するという公理です。
数式では、以下のように表現されます。
∀X((∅∉X∧∀x∈X∀y∈X(x≠y→x∩y=∅))→∃A∀x∈X∃t(x∩A={t}))

選択公理は、整列定理やツォルンの補題と同値であることがZF公理系の中で証明されています。

分出公理

置換公理の代わりに、フレンケルによって導入されたのが分出公理です。ZF公理系から導き出すことも可能です。

任意の集合Xと、変数Aを使用しない論理式ψ(x)に対して、Xの要素のうちψ(x)を満たす要素全体からなる集合が存在するという公理です。
数式では、以下の通り表現されます。
∀X∃A∀x(x∈A↔(x∈X∧ψ(x)))

これも公理図式であり、論理式ψごとに公理が存在します。この公理によって、{x∈X∣ψ(x)}という集合を定義できます。

特に、{x∈X∣x∈Y}はX∩Yと表現されます。

分出公理を用いて、ψ(x)を常に偽となる論理式(x≠x)とすることで、空集合の存在を導くこともできます。

追加の公理

集合論では、必要に応じて追加の公理が導入されることがあります。たとえば、到達不能基数の存在を仮定するZFC+Iや、一般連続体仮説を仮定するZFC+GCHなどがその例です。

連続体仮説

選択公理と合わせて議論されることが多い仮説です。

マーティンの公理

連続体仮説の否定と同等性が示唆されている公理です。

グロタンディーク宇宙の存在公理

圏論における議論を可能にするために導入された公理で、到達不能基数の存在と同値です。マックレーンは、この公理を用いて、すべての小さい集合の圏Setや、すべての小さい圏の圏Catを定義しました。

タルスキーの公理

グロタンディーク宇宙の存在をさらに強力にした公理で、任意の大きさのグロタンディーク宇宙の存在を仮定します。この公理を導入した集合論は、タルスキー=グロタンディーク集合論と呼ばれます。

フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論（NBG）

ZF公理系は無限個の公理を持つ一方で、NBGは有限個の公理で公理化できます。NBGでは、集合だけでなく、クラスというより広い概念を導入します。ただし、NBGとZFCは同等な集合論であり、一方の理論で証明できる定理はもう一方でも証明可能です。

モース-ケリー集合論

新基礎集合論

まとめ

公理的集合論は、数学の基礎を厳密に構築するための重要な理論です。ZF公理系や選択公理、その他の追加の公理によって、様々な数学的な概念を矛盾なく展開することが可能になります。これらの公理は、集合の性質を定義し、そこから定理を導き出すための基盤となっています。

参考文献

Halmos, Paul R. (2012-04-05), Naive Set Theory (2011 Reprint of 1960 Edition ed.), Lightning Source Inc., ISBN 978-1-61427-131-4
ポール・ハルモス『素朴集合論』ミネルヴァ書房、1975年9月。ISBN 4-623-0 0986-6。

公理的集合論