ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックスとは

ラッセルのパラドックスは、素朴集合論において、ある種の集合の定義が矛盾を生じさせることを示すパラドックスです。具体的には、「自分自身を要素として含まない集合」をすべて集めた集合を考えると矛盾が生じます。このパラドックスは、20世紀初頭の数学界に大きな衝撃を与え、数学の基礎を再考するきっかけとなりました。

パラドックスの概要

パラドックスは以下のように説明できます。

1. M集合: まず、「自分自身を要素として含まない集合」をM集合と定義します。
2. R集合: 次に、すべてのM集合を要素とする集合Rを作ります。
3. 矛盾: ここで、RがR自身を要素として含むかどうかを考えると、矛盾が生じます。
RがR自身を要素として含む場合、RはM集合ではないので、Rの要素ではありません。
RがR自身を要素として含まない場合、RはM集合なので、Rの要素になります。

この矛盾は、「RがRの要素である」ことと「RがRの要素ではない」ことが同時に成り立つという自己矛盾を示しています。

パラドックスが示す問題点

ラッセルのパラドックスは、集合という概念が単純なものではないことを示唆しています。集合を「ものの集まり」と単純に考えると、自己言及的な定義によって矛盾が生じる可能性があることを示しています。この矛盾は、素朴集合論の限界を示すものであり、より厳密な集合論の構築が必要であることを示唆しました。

ラッセルのパラドックスの解決策

このパラドックスを解決するために、様々なアプローチが提案されてきました。代表的な解決策を以下に示します。

1. 公理的集合論による解決

公理的集合論は、集合とは何かを明確に定義するために、いくつかの公理を導入します。素朴集合論では、任意の性質を満たす要素の集合が存在することを認めていましたが、公理的集合論では、そのような集合の存在を制限します。これにより、ラッセルのパラドックスのような矛盾を引き起こす集合の構成を避けることができます。

分出公理: 内包公理を弱めたもので、任意の集合Aに対して、Aの要素の中で特定の性質を満たすものだけを集めた集合の存在を認める公理です。
正則性公理: x∈xのような循環的な所属関係を持つ集合の存在を禁止する公理です。この公理によって、ラッセルのパラドックスは回避されます。

2. 単純型理論による解決

単純型理論では、項（集合や要素）に型と呼ばれる階層を導入します。異なる型の項の間では、所属関係を定義しないことで、矛盾を回避します。具体的には、n階の項はn+1階の項の要素にしかなれません。この制限によって、Rのような自己言及的な集合の構成を防ぐことができます。

3. 部分構造論理による解決

部分構造論理は、古典論理の規則を制限することで、矛盾を回避します。特に、外延性公理を排除することで、矛盾を回避できることが知られています。外延性公理は、2つの集合の要素が完全に一致する場合、それらの集合は等しいとする公理ですが、これを排除することで、ラッセルのパラドックスを生じさせる自己言及的な集合の定義を排除します。

4. その他の解決策

多値論理: ウカシェヴィッチの3値論理では、自己所属関係を持つ集合の真理値を不定とすることで、パラドックスを回避します。ただし、この場合、別のパラドックス（莫少揆のパラドックス）が発生する可能性があり、解決には無限ウカシェヴィッチ論理が必要になります。

ラッセルのパラドックスの歴史

このパラドックスは、バートランド・ラッセルが1902年にゴットロープ・フレーゲに送った書簡の中で初めて指摘されました。しかし、その数年前にはエルンスト・ツェルメロも同様のパラドックスを発見していたことが知られています。このパラドックスは、数学基礎論の分野で重要な問題提起となり、その後の数学の発展に大きな影響を与えました。

年表

1872年-1878年：デーデキントが『数とは何かそして何であるべきか』のスケッチを作成
1879年：フレーゲ『概念記法』出版
1884年：フレーゲ『算術の基礎』出版
1888年：デーデキント『数とは何かそして何であるべきか』出版
1893年：フレーゲ『算術の基本法則』出版
1902年6月16日：ラッセルがフレーゲにパラドックスを知らせる書簡を送付
1902年6月22日：フレーゲがラッセルに返信を送付
1903年：フレーゲ『算術の基本法則』第II巻出版。後書きでパラドックスを公開
1903年：ラッセル『数学の原理』出版。型理論の始まり
1903年11月7日：ヒルベルトがフレーゲに返信。ツェルメロがパラドックスを発見していたことを伝える
1908年：ツェルメロが「集合論の基礎に関する研究」を発表。公理的集合論の始まり

まとめ

ラッセルのパラドックスは、素朴な集合の概念が持つ限界を示した重要なパラドックスです。このパラドックスを解決するために、様々なアプローチが提案され、現代数学の基礎を築く上で重要な役割を果たしました。公理的集合論、型理論、部分構造論理など、このパラドックスから生まれた概念は、現代の数学や論理学において不可欠なものとなっています。

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