ブリアンションの定理

ブリアンションの定理

ブリアンションの定理（Brianchon's theorem）は、19世紀初頭にフランスの数学者シャルル・ブリアンション（Charles Julien Brianchon, 1785-1864）によって発表された、射影幾何学における重要な定理の一つです。

この定理は、平面上にある円錐曲線（例えば円、楕円、放物線、双曲線など）に接する六つの直線（接線）に関する性質を述べています。これらの六つの接線が、順に連続して結ばれることで一つの六角形を形成すると考えます。この六角形の頂点を順に P₁, P₂, P₃, P₄, P₅, P₆ と名付けます。ブリアンションの定理が主張するのは、この六角形の三つの対角線、すなわち頂点 P₁ と P₄、P₂ と P₅、そして P₃ と P₆ をそれぞれ結んでできる直線が、必ずただ一点で交わるということです。

この定理は、平面上の円錐曲線上に取られた六つの点を持つ六角形に関するパスカルの定理と双対の関係にあります。パスカルの定理が点の配置に関する共線性（同一線上に並ぶ性質）を示すのに対し、ブリアンションの定理は直線の配置に関する共点性（一点で交わる性質）を示すのです。

定理の一般化

ブリアンションの定理は、より一般的に4n+2本の直線へと拡張されることが知られています。これはメビウスによって発見されたとされています。一般化された定理では、4n+2本の接線が作る多角形において、特定の2n本の対角線が一点で交わるならば、残りの一本の対角線も同じ点で交わることが示されます。

退化（極限的な場合）

六角形が極限的に退化し、例えば三つの頂点を持つ三角形になった場合を考えます。このとき、元の円錐曲線は、その三角形の内接円錐曲線となります。特に、元の円錐曲線が楕円であれば、それは三角形の内接楕円となります。このような退化した状況においても、ブリアンションの定理によって対角線が交わる一点は存在し、この点は特に「ブリアンション点」（Brianchon point）、または「核心」と呼ばれます。この点は、三角形とその内接円錐曲線の特別な関係を示すものとなります。

証明について

ブリアンションの定理の証明方法はいくつか存在しますが、特に円の場合については、根軸（こんじく）と呼ばれる幾何学的な概念を応用した証明が知られています。この証明では、接線上に特定の長さを持つ線分を設定し、これらの線分を直径とする円を考えます。これらの円の根軸を利用することで、ブリアンションの定理が主張する三つの直線が一点で交わる、すなわち根心がこれらの直線の交点となることが示されます。証明の詳細は専門的ですが、円の性質と根軸定理が基礎となっています。

関連項目

パスカルの定理（双対定理）
七円定理
* ダオの六円定理

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