接線

接線：幾何学における「触れる」という概念

幾何学において、接線は「ただ触れるだけ」という直観的な概念を数学的に定式化したものです。古代ギリシャの数学者たちが円や円錐曲線の接線について考察を始めたのが始まりです。ユークリッドの『原論』では円の接線が言及されており、アポロニウスは『円錐曲線論』において接線を「曲線との間に他の直線を挟むことのできない直線」と定義しました。

その後、アルキメデスはアルキメデスの螺旋の接線の求め方を示し、17世紀にはフェルマーやデカルトが接線の計算方法を開発しました。彼らの研究は微分法の発展に繋がっていき、ロベルヴァル、スリュス、フッデ、ウォリス、バローといった数学者たちの貢献を経て、ニュートンとライプニッツによって微積分学が確立されました。

ライプニッツは接線を「曲線上の無限に近い二点を通る直線」と定義しました。これは、変曲点における接線といった従来の定義では扱えなかった点を解消する画期的な定義でした。現代的な定義では、曲線上の点における接線は、その点を通る割線の極限として定義されます。このとき、接線の存在と一意性は、曲線の滑らかさ、つまり微分可能性に依存します。

曲線の接線

曲線上の点Aにおける接線は、点Aと曲線上の別の点Bを通る割線を考え、点Bを点Aに近づけたときの極限として得られます。多くの場合、接線は接点以外では曲線と交わりませんが、変曲点では接線が曲線と交わる場合があります。変曲点を持たない曲線には円、放物線、双曲線、楕円などがあります。

綜合幾何学と有限幾何学における接線

綜合幾何学や有限幾何学では、微分可能性を仮定せずに接線を定義することができます。射影平面内の二次集合に対して、接線は二次集合とちょうど一点のみを共有する直線、または二次集合に完全に含まれる直線として定義されます。この定義を用いると、卵形線において各点にただ一つの接線が存在することがわかります。

相接する円

二つの円が相接するとは、それらがただ一点のみを共有することを意味します。二つの円が外接する場合は、中心間の距離が二つの円の半径の和に等しく、内接する場合は中心間の距離が半径の差に等しくなります。これらの条件は、円の中心座標と半径を用いた式で表現できます。

曲面の接平面

曲面上の点における接平面は、曲線に対する接線と同様の方法で定義されます。それは接点における曲面の最適近似平面であり、接点の近傍にある曲面上の三点を通る平面の極限として得られます。より一般的には、n次元ユークリッド空間内のk次元多様体の各点にk次元接空間が存在します。これは、接線の概念をより高次元へと拡張したものです。

歴史的発展

接線の概念は、古代ギリシャの幾何学から始まり、微分積分学の発展とともに洗練されてきました。初期の研究では、幾何学的な考察に基づいて接線が定義されていましたが、微分法の導入により、接線は曲線の微分係数と密接に関連づけられるようになりました。現代の定義は、極限の概念を用いて厳密に表現されていますが、その根底にあるのは、古来より続く「触れる」という直観的なイメージです。接線の概念は、幾何学のみならず、物理学や工学など様々な分野で重要な役割を果たしています。

もう一度検索