ブロカール円

ブロカール円（Brocard circle）

定義と名称の由来

ブロカール円は、ユークリッド幾何学における三角形に関する特定の性質を持つ円です。この円は、与えられた三角形の外心、すなわち三角形の三つの頂点を通る円（外接円）の中心と、類似重心（Symmedian point, 或いはシムソン線の重心とも呼ばれる）という、三角形の内部に位置する特殊な点の二つを結ぶ線分を直径として定義されます。

その名前は、19世紀フランスの数学者であるアンリ・ブロカール（Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard, 1845-1922）に敬意を表して付けられました。ブロカールは、三角形の幾何学、特に後に彼の名が冠されることになる点や円に関する重要な研究を行い、1881年にこれらの概念を記述した論文を発表しました。以来、外心と類似重心を直径とするこの円はブロカール円として広く認識されています。

性質

ブロカール円は、定義から外心と類似重心を必ず通過しますが、それ以外にも幾つかの興味深い幾何学的性質を持っています。

円周上の特別な点

ブロカール円周上には、外心と類似重心に加え、さらに二つの重要な点が存在します。これらの点は「ブロカール点」と呼ばれ、第一ブロカール点（Ω₁）と第二ブロカール点（Ω₂）の一対が三角形の内部に存在します。これらのブロカール点は、三角形の各頂点から対辺に向かって特定の角度（ブロカール角ω）で引かれた線が交わる点として特徴づけられ、三角形の形状に深く関わる点です。ブロカール円はこれら二つのブロカール点も通過します。

半径

ブロカール円の大きさは、元の三角形の形状と密接に関連しています。三角形の3辺の長さをそれぞれ a, b, c とし、その外接円の半径を R とした場合、ブロカール円の半径 R_b は以下の数式を用いて計算することができます。


R_b = \frac{\sqrt{a^4 + b^4 + c^4 - (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)}}{a^2 + b^2 + c^2} R


この式は、三角形の辺長と外接円の半径からブロカール円の半径を一意に決定するための関係を示しています。分子の平方根内の式は、三角形の幾何学におけるいくつかの重要な不変量と関連しており、ブロカール円の半径が三角形の形状に依存することを示唆しています。特に、正三角形の場合にはこの平方根の中身がゼロとなり、半径はゼロ、つまりブロカール円は一点（外心、類似重心、ブロカール点がすべて一致する点）に縮退します。

中心

ブロカール円の中心は、その定義から外心と類似重心を結ぶ線分の中点となります。三角形の中心点に関するデータベースであるEncyclopedia of Triangle Centers (ETC)では、この点はX(182)として識別されています。この中心点の位置を記述するために、三角形の頂点からの距離の比で表される三線座標がよく用いられます。ブロカール円の中心X(182)の三線座標は、三角形の内角 A, B, C およびブロカール角 ω を用いて、以下のように表すことができます。


cos(A - ω) : cos(B - ω) : cos(C - ω)


この座標表示は、ブロカール角ωが三角形の形状によって決まる特殊な角度であることを考慮に入れると、さらに辺長 a, b, c を用いたより具体的な代数式で表現することが可能です。その場合の三線座標は以下のようになります。


= \frac{a^2(b^2+c^2)+2b^2c^2-a^4}{bc} : \frac{b^2(c^2+a^2)+2c^2a^2-b^4}{ca} : \frac{c^2(a^2+b^2)+2a^2b^2-c^4}{ab}


これらの三線座標は、ブロカール円の中心が三角形の内部における特定の幾何学的な位置にあることを正確に示しています。

関連概念

ブロカール円は、三角形の幾何学における他のいくつかの重要な概念と密接に関連しています。その定義に現れる「外心」と「類似重心」は、それぞれ三角形の古典的な中心点です。外心は三辺の垂直二等分線の交点であり、類似重心は三辺の長さに比例する質量を各頂点に置いた場合の重心に相当します（あるいはより幾何学的にはシムソン線やブロカール点と関連が深いです）。

また、ブロカール円周上に存在する「ブロカール点」は、第一ブロカール点と第二ブロカール点として知られ、三角形の内部における特徴的な点であり、ブロカール円の構成要素として不可欠です。さらに、「ブロカール三角形」と呼ばれる、ブロカール点や類似重心などを用いて定義される別の三角形も、ブロカール円の概念を理解する上で関連があります。これらの概念を総合的に理解することで、ブロカール円が三角形の幾何学の中でどのような役割を果たしているのか、より深く洞察することができます。

もう一度検索