ブロカール点

ブロカール点（Brocard point）は、平面幾何学における概念の一つで、任意の三角形に対して定義される二つの特別な点を指します。この名称は、1875年にこの概念に関する研究成果を発表したフランスの軍人であり数学者でもあったアンリ・ブロカール（Henri Brocard, 1845-1922）に由来しています。

定義

与えられた三角形を△ABCとします。ブロカール点には第一と第二の区別があり、それぞれ以下の角度条件を満たす三角形内部の点として定義されます。

第一ブロカール点 (Ω)：三角形△ABCの内部に位置し、角∠ΩAB, ∠ΩBC, ∠ΩCAの大きさがすべて等しくなる点です。この等しい角度をブロカール角（ω）と呼びます。

$$\angle \Omega AB = \angle \Omega BC = \angle \Omega CA = \omega$$

第二ブロカール点 (Ω')：三角形△ABCの内部に位置し、角∠Ω'AC, ∠Ω'CB, ∠Ω'BAの大きさがすべて等しくなる点です。この場合の等しい角度もブロカール角ωに等しくなります。

$$\angle \Omega'AC = \angle \Omega'CB = \angle \Omega'BA = \omega$$

これらのブロカール点は、三角形の各頂点からの三線座標で表現することも可能です。例えば、第一ブロカール点Ωと第二ブロカール点Ω'の三線座標は、三角形の辺長をa, b, cとして、それぞれ次のような比で与えられます。

Ω の三線座標：
$$\frac{c}{b} : \frac{a}{c} : \frac{b}{a}$$

Ω' の三線座標：
$$\frac{b}{c} : \frac{c}{a} : \frac{a}{b}$$

ブロカール角 (ω)

定義に現れるブロカール角ωは、三角形そのものの形状に依存する角度であり、三角形の三つの内角α, β, γや、三辺の長さa, b, c、面積Sといった基本的な要素と密接な関係があります。いくつかの重要な関係式を以下に示します。

コタンジェントによる関係式：
$$\cot \omega = \cot \alpha + \cot \beta + \cot \gamma$$

タンジェントによる関係式：
$$\tan \omega = \frac{4S}{a^2+b^2+c^2}$$

これらの式から導かれる性質として、任意の三角形においてブロカール角ωは常に30度以下である、という事実があります。

$$\omega \leq 30^{\circ}$$

この性質は、正三角形の場合にωが最大値の30度になることから理解できます。

ブロカール点の主な性質

二つのブロカール点ΩとΩ'は、三角形の外心Oに関して対称的な位置関係にあります。具体的には、ΩとΩ'は外心Oから等しい距離に存在します。

さらに、これら二つのブロカール点は、三角形の外心Oと類似重心（ルモワーヌ点とも呼ばれます）を直径の両端とする円周上に位置します。この特別な円はブロカール円として知られています。

四角形への拡張

ブロカール点の概念は、三角形だけでなく、特定の条件下にある四角形にも拡張されています。特に、円に内接し、かつ向かい合う辺の積の和が等しいという条件を満たす調和四角形において、三角形のブロカール点と類似した角度条件を満たす点が定義されています。この拡張された概念は、ロバート・タッカーやF. G. W. Brownらによって研究されました。

ブロカール点とその関連概念は、三角形の内部に潜む角度の対称性や、他の重要な中心との繋がりを示す興味深い研究対象であり、古典幾何学の豊かな体系の一部を形成しています。

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