ブーリアン演算

ブーリアン演算（または集合演算）は、3次元[[コンピュータグラフィックス]]（3DCG）やCADなどの分野で、体積を持つ形状を集合と捉え、それらの形状を組み合わせるための演算です。具体的には、複数の形状に対して和（union）、差（difference）、積（intersection）といった集合演算を適用することで、新しい形状を生成します。

この技術は、特にソリッドモデリングの一手法であるCSG（Constructive Solid Geometry）表現において、その根幹をなす要素となります。CSGでは、基本的な形状をブーリアン演算で組み合わせることで複雑な形状を構築していきます。また、サーフェスモデラーにおいても、形状をソリッドモデルとして扱える状況であれば、ブーリアン演算を用いることが可能です。

2次元におけるブーリアン演算

ブーリアン演算は3次元だけでなく、2次元（平面）の多角形に対しても適用できます。2次元でのブーリアン演算は、例えば、複数の多角形を組み合わせたり、一部を切り抜いたりする際に用いられます。

アルゴリズム

2次元の多角形に対するブーリアン演算を実現するための代表的なアルゴリズムには、以下のようなものがあります。

Vattiクリッピング法: 複雑な多角形にも対応できる汎用的なアルゴリズムです。
Sutherland–Hodgman法: 特定のケース（例えば、凸多角形に対するクリッピング）に特化したアルゴリズムです。
Weiler–Athertonクリッピング法: 複雑な多角形に対してクリッピングを行うためのアルゴリズムです。

ソフトウェアでの利用

初期のブーリアン演算の実装では、多角形の表現にビットマップが使用されていました。しかし、ビットマップ表現はピクセル数に比例して計算量やメモリ消費が増大するという欠点があります。そのため、現在では頂点情報を用いた走査アルゴリズムが主流となっています。

凸多角形に対するブーリアン演算は、線形時間で計算可能であることが知られています。これにより、効率的な形状処理が可能になっています。

ブーリアン演算の応用

ブーリアン演算は、以下のような様々な分野で応用されています。

3Dモデリング: 複雑な形状の作成、部品の組み立て、デザインの変更などに使用されます。
CAD: 機械部品や建築物の設計、シミュレーションなどに用いられます。
ゲーム開発: ゲーム内のオブジェクトの形状作成、環境モデリングに活用されます。
コンピュータグラフィックス: オブジェクトの合成、形状の変形などに利用されます。

関連項目

Constructive Solid Geometry (CSG): ブーリアン演算を基本とするソリッドモデリング手法です。
論理演算: ブーリアン演算は論理演算を基盤としています。
ベン図: 集合演算の概念を図示したものです。

まとめ

ブーリアン演算は、3DモデリングやCADなどの分野で不可欠な技術であり、複雑な形状を効率的に作成・編集するための強力なツールです。2次元の多角形から3次元のソリッドモデルまで、幅広い用途で活用されており、そのアルゴリズムも日々進化を続けています。

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