多角形

多角形についての詳細

多角形とは、基本的に有限個の点を結び、その間を線分で繋いだ形状を指します。この点の集まりを頂点と呼び、これらを繋ぐ線分を辺とします。多角形自体は閉じた折れ線の一種であり、特に点が平面上に存在し、初めの頂点が最後の頂点と繋がることで閉じた形が形成されます。

多角形の主な特性の一つは、相異なる頂点が同一平面上に存在し、交差しない辺によって構成されることで、そこから形成される領域を有界または非有界に分類することができる点です。ジョルダン閉曲線定理において、このような多角形は平面を二つの領域に分ける役割を果たします。ここで、有界な領域の閉包を多角形とすることが一般的です。

また、n個の辺を持つ多角形はn-角形として知られ、例えば三辺の多角形は三角形となります。この概念は三次元以上の空間でも適用可能で、超多面体の二次元的な例と位置づけられます。

多角形の由来と関連用語

「多角形」という言葉は、ギリシア語の「多い」を意味する polús と「角」を意味する gōnía に由来しています。多角形の各頂点で形成される角度は、その測度を示す「角度」という用語で表されます。この点から、幾何学的な対象としては辺が交わる点や、それによって形成される内角・外角も考慮されます。このような多角形も多くの文脈においては、自身の領域内部や外部を有しているかどうかによって曖昧な場合も存在し、特定の用語で区別されることがあります。

歴史的背景

多角形は紀元前から知られており、特に正多角形は古代ギリシアの時代から認識されていました。また、星型などの非凸多角形も早くから描かれており、14世紀にはトーマス・ブラドワーディンによって、より一般的な非凸多角形の研究が行われました。1952年にはジェフリー・コリン・シェファードによって、多角形の概念が複素平面上に拡張され、複素多角形の導入がなされました。

多角形の分類

多角形は多くの視点から分類可能です。最も基本的な分類はその辺の数によるもので、再度、n-角形と呼ばれます。また、凸性や凹性によって次のような分類が行われます。

• - 凸多角形: どのような直線も二回以上多角形の境界と交差しません。
• - 凹多角形: 任意の直線が多角形の境界を二回以上交わることが可能です。これは任意の内角が180°以上となる特徴を持ちます。
• - 単純多角形: 自身の辺と交わることは無く、自己交叉を持たない形状です。
• - 自己交叉多角形: 自身の境界が他の部分と交わることで形成されます。

特徴的な定義

多角形に関する定義はその性質に応じて多様です。例えば、内角が等しいものは等角多角形と言われ、全ての辺が同一の長さのものは等辺多角形と分類されます。また、特定の円にすべての頂点が存在する多角形は共円多角形と呼ばれます。

面積と角度の計算

多角形の内角の和は、辺の数nに基づいて計算し、常に(n-2)×180°の形で表されます。外角に関しては、任意の多角形では常に360°となります。また、面積は頂点の位置ベクトルを用いて外積で求められることが多く、反時計回りに配置することで簡便に計算できる方法が存在します。

結論

多角形は、そのシンプルさと多様な分類によって、幾何学において非常に重要な概念とされています。古代から数多くの数学者によって研究され続けているこのテーマは、現代でもなお新しい視点からの探求が求められ続けています。

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