プラマーモデル

プラマーモデルの概要

プラマーモデルとは、球状星団における星の密度分布を示す数学的モデルです。このモデルは1911年にヘンリー・プラマーによって最初に提唱され、その名が付けられました。球状星団は、星が球対称の構造を持ち、中心部に近づくほど星の密度が高くなるという特徴があります。このモデルは、質量 M とプラマー半径 a という二つのパラメータを使用して、星の密度を表現します。

密度プロファイル

プラマーモデルの密度プロファイルは次のように表されます。

$$
\rho(r) = \frac{3}{4\pi} \frac{Ma^2}{(r^2 + a^2)^{5/2}}
$$

ここで、$r$ は観測点からの距離を示します。この式から、$r$ がプラマー半径 $a$ に比べて小さい場合、密度は一定となり、$r$ が大きくなると、密度は逆比例することが分かります。具体的には、$r \ll a$ の場合、$\rho$ は定数であり、$r \gg a$ の場合は $\rho \propto r^{-5}$ となります。

質量の分布

プラマーモデルを用いた場合、半径 $r$ 以内に存在する質量 $M(r)$ は次の式で表されます。

$$
M(r) = M \frac{r^3}{(r^2 + a^2)^{3/2}}
$$

この式も、球状星団の物質分布の特性を反映しています。また、重力ポテンシャルについては、万有引力定数 $G$ を用いて次のように表されます。

$$
\Phi(r) = -\frac{GM}{\sqrt{r^2 + a^2}}
$$

この重力ポテンシャルは、重力多体系のシミュレーションにも応用される等価なポテンシャルです。

プラマーモデルの性質

プラマーモデルは、n=5 のポリトロープモデルとしても認識されています。星の分布関数 $f(r, v)$ は次のように示されます。

$$
f(r, v) \propto (-E)^{7/2}, \quad E = \frac{1}{2}v^2 + \Phi(|r|)
$$

この分布関数に従うことで、プラマーモデルが再現されます。

プラマーモデルの生成アルゴリズム

N体シミュレーションの初期条件を形成するために、プラマーモデルに準拠した粒子群を生成するアルゴリズムが存在します。ここでは、$M$ と $a$ を両方とも1とした単位系を基に考えます。また、$X_1, X_2, ..., X_7$ は7つの独立した区間 $[0, 1]$ の一様乱数です。

動径座標 $r$ は次のように計算されます。

$$
r = (X_1^{-2/3} - 1)^{-1/2}
$$

この値を使用して、座標 $x, y, z$ も定義されます。具体的には、次のように求められます。

$$
z = (1 - 2X_2)r,
$$
$$
x = (r^2 - z^2)^{1/2} \cos(2\pi X_3),
$$
$$
y = (r^2 - z^2) \sin(2\pi X_3)
$$

その後、脱出速度を用いて規格化された速度 $q$ を次の方法で得ます。

$$
V_e = \sqrt{2}(1 + r^2)^{-1/4}
$$

$$
q = \frac{V}{V_e}
$$

この速度は確率分布に従って生成されます。例えば、棄却法を使用する場合、0.1 $X_5$ が $g(X_4)$ より小さければ $q = X_4$ となり、そうでなければ新しい乱数を生成します。

最終的な速度の座標 $u, v, w$ は、次のように求められます。

$$
w = (1 - 2X_6)V,
$$
$$
y = (V^2 - w^2)^{1/2} \cos(2\pi X_7),
$$
$$
v = (V^2 - w^2) \sin(2\pi X_7)
$$

このソフトウェアにより、プラマーモデルに基づく粒子群の生成が可能となります。

脚注

関連項目：球状星団、銀河、ジーンズの定理

もう一度検索