重力ポテンシャル

重力ポテンシャルとは

重力ポテンシャルとは、ニュートン力学において、ある点における単位質量あたりの重力による位置エネルギーのことです。これは、空間内のある位置へ質点を基準点から移動させる際に、重力が質点に行う単位質量あたりの仕事の符号を反転させたものと等価です。

重力ポテンシャルの定義

通常、重力ポテンシャルの基準点（ポテンシャルが0となる点）は無限遠に設定されます。重力は常に引力として作用するため、有限の距離では重力ポテンシャルは負の値を取ります。重力ポテンシャルは単位質量あたりのエネルギー（速度の二乗）の次元を持ち、SI単位系では[J/kg]または[m²/s²]で表されます。

数学においては、重力ポテンシャルはニュートンポテンシャルとも呼ばれ、ポテンシャル論の研究における基本的な概念です。

位置エネルギーとの関係

重力ポテンシャルは単位質量あたりの位置エネルギーに等しいです。したがって、位置 \(\boldsymbol{r}\) にある質量 \(m\) の粒子が持つ位置エネルギー \(U(\boldsymbol{r})\) は、その点の重力ポテンシャル \(\Phi(\boldsymbol{r})\) と以下の関係にあります。

\[U(\boldsymbol{r}) = m\Phi(\boldsymbol{r})\]

このため、粒子に働く力 \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) は以下のように表現できます。

\[\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = -\boldsymbol{
abla}U(\boldsymbol{r}) = -m\boldsymbol{
abla}\Phi(\boldsymbol{r})\]

つまり、重力ポテンシャルの勾配に-1を掛けたものは、その点での重力加速度 \(\boldsymbol{g}\) に相当します。

\[\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r}) = -\boldsymbol{
abla}\Phi(\boldsymbol{r})\]

逆に、重力ポテンシャル \(\Phi\) は、基準点（通常は無限遠点）から空間内の特定の位置へ物体が重力のみを受けて移動した際に、単位質量あたりに獲得するエネルギー（重力が行う仕事）の符号を反転させたものと解釈できます。

\[\Phi(\boldsymbol{r}) = -\frac{1}{m}\int_{\infty}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}') \cdot d\boldsymbol{r}'\]

例えば、一様重力場においては、重力加速度の方向をz軸負の向きに選ぶ（鉛直上向きをz軸とする）場合、重力ポテンシャル \(\Phi\) は以下のように表されます。

\[\Phi(z) = gz\]

したがって、高度差 \(\Delta h\) の2点間における質量 \(m\) の物体の位置エネルギーの差 \(\Delta U\) は、\(\Delta U = mg\Delta h\) となります。

脱出速度と円軌道速度

ある天体が作り出す重力ポテンシャルを \(\Phi(\boldsymbol{r})\) とします。位置 \(\boldsymbol{r}\) に存在する粒子が、この天体の重力圏から脱出して無限遠に到達するためには、その粒子の力学的エネルギー \(E = \frac{1}{2}\boldsymbol{v}^{2} + \Phi(\boldsymbol{r})\) が非負である必要があります。

この条件を満たす最小の速度

\[v_{\mathrm{esc}} = \sqrt{-2\Phi(\boldsymbol{r})}\]

を、位置 \(\boldsymbol{r}\) における脱出速度と呼びます。また、球対称ポテンシャル \(\Phi(r)\) において、半径 \(r\) で等速円運動を行う際の速度

\[v_{\mathrm{c}} = \sqrt{r\partial_{r}\Phi(r)}\]

を円軌道速度と呼びます。

質量分布と重力ポテンシャル

質量 \(M\) の点粒子が位置 \(\boldsymbol{r}\) に作り出す重力ポテンシャル \(\Phi(\boldsymbol{r})\) は、ニュートンの逆二乗則 \(\boldsymbol{g} = -GM\boldsymbol{r}/|\boldsymbol{r}|^{3}\) により、

\[\Phi(\boldsymbol{r}) = -\frac{GM}{|\boldsymbol{r}|}\]

と表現できます。ここで、\(G\) は重力定数です。このとき、重力ポテンシャルは常に負であり、\(r \to \infty\) でゼロに近づき、\(r \to 0\) で \(r^{-1}\) に比例して発散します。

より一般的には、任意の質量分布に伴う重力ポテンシャルは、各質量要素が作り出すポテンシャルを足し合わせたものに等しくなります。例えば、\(N\) 個の質点系の場合、質点 \(M_{i}\) （\(i = 1, 2, \cdots, N\)）の座標を \(\boldsymbol{r}_{i}\) とすると、

\[\Phi(\boldsymbol{r}) = -\sum_{i=1}^{N}{\frac{GM_{i}}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}_{i}|}}\]

となります。

質量分布が3次元ユークリッド空間 \(\mathbb{R}^{3}\) 上の連続的な分布 \(dM = \rho({\boldsymbol{r}})d^{3}r\) である場合、上記の和は体積積分に置き換えられます。

\[\Phi({\boldsymbol{r}}) = -\int {\frac{G\rho({\boldsymbol{r}}')}{|{\boldsymbol{r}}-{\boldsymbol{r}}'|}}d^{3}r'\]

この関係式は、重力ポテンシャル \(\Phi\) が密度分布 \(\rho\) とポアソン方程式 \(
abla^{2}\Phi = 4\pi G\rho\) によって結び付けられていることを示しています。ここで、\(
abla^{2}\) はラプラシアンです。

一般相対性理論における重力ポテンシャル

一般相対性理論では、重力場は計量テンソルによって記述されます。重力場が弱く、重力源の速度が光速よりも十分に遅い極限において、一般相対性理論はニュートン重力を再現し、計量テンソルと重力ポテンシャルは以下の関係で結び付けられます。

\[ds^{2}=-\left(1+{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {2\Phi }{c^{2}}}\right)(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})\]

この結果として、一般相対性理論では、重力ポテンシャルは時間の遅れ、重力赤方偏移、重力レンズなどの効果を引き起こします。

重力ポテンシャルは、ニュートン力学から一般相対性理論まで、重力を理解するための重要な概念です。その理解を深めることで、宇宙の様々な現象をより深く理解することができます。

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