プリンキピア・マテマティカ

『プリンキピア・マテマティカ』の概要

『プリンキピア・マテマティカ』は、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって執筆された、数学の基礎を築く上で重要な三巻からなる著作です。この本は1910年から1913年にかけて出版され、記号論理学の発展に寄与したことでも知られています。著者たちは、数学的真理を得るために、特定の公理と推論規則を明示的に定義しました。特にこの著作は、近代論理学においてアリストテレスの『オルガノン』以来の重要な作品とみなされています。

基礎の築き方

『プリンキピア・マテマティカ』は、集合論、基数、序数、実数などの数学的概念を中心に構成されていますが、実数解析に関する深い定理については触れられていません。著者たちは、数学の多くの未知なる部分がこの形式主義を使って原理的に発展可能であることを示しました。しかし、幾何学を扱う予定だった第4巻の執筆は、著者たちが完成を迎えた時点で知的な限界を感じたため実現しませんでした。

無矛盾性と完全性

『プリンキピア』の構築において、無矛盾性や完全性といった問題が焦点となりました。具体的には、プリンキピアの公理から矛盾が生じるかどうか、そしてその体系内に証明不可能な数学的命題が存在するかが問われます。命題論理は無矛盾かつ完全であることが知られている一方で、プリンキピアの集合論に関する公理は依然としてその確認が取れていませんでした。後に出現したゲーデルの不完全性定理はこれらの問題に新たな洞察を提供しました。

ゲーデルの不完全性定理

ゲーデルの第一不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることは不可能であることを示しています。つまり、十分に強力な論理体系では「言明Gは証明不可能である」という命題が本質的に存在し、これによって体系は矛盾または不完全のいずれかに陥る可能性があるとされます。また、ゲーデルの第二不完全性定理により、無矛盾な体系は自己の無矛盾性を体系内部で証明することができないことが示されました。

批判的見解

ウィトゲンシュタインは『プリンキピア』に対して多くの批判を展開しました。彼はこの著作が算術の基礎を説明する試みとして不十分であると指摘し、特に実際の算術的操作とは乖離した理論が展開されていると批判しました。彼によれば、実際の数え方において『プリンキピア』による誤りが認められる場合、それは日常的な算術の誤りではなく、プリンキピア自体の誤りを反映するべきだと考えられていました。

記号と表記法

『プリンキピア』で使用される特有の記号は、数学的論理を形式化するための重要な要素です。記号体系は論理学や数学の概念を厳密に表現するためのツールとして機能しており、既存の記号法と一線を画すものでした。たとえば、命題や述語論理を表すための記号が頻繁に使用され、これにより理論の構造がわかりやすく示されています。

影響と評価

『プリンキピア・マテマティカ』はその構成において20世紀の思想に深い影響を与え、モダン・ライブラリーが選定した20世紀のノンフィクション作品のリストでも第23位に位置づけられています。この著作の探求は、数学、哲学、論理学におけるさらなる探究の道を開く基盤となりました。実際、この作品はその後の数学の研究における多くの議論や発展の引き金となったのです。

もう一度検索