ヘリシティー (素粒子)

ヘリシティー（helicity）は、素粒子物理学において、粒子のスピンの方向を運動量に対して測定した量です。具体的には、粒子のスピンベクトルが運動量ベクトルに対して平行か反平行かを数値化したもので、粒子の回転方向を特徴づける重要な物理量です。

ヘリシティーの定義

数学的には、ヘリシティーは粒子のスピンベクトル（\( \vec{S} \)）と運動量ベクトルの方向（\( \hat{p} \)）の内積として定義されます。

\( h = \vec{S} \cdot \hat{p} \)

ここで、\( \hat{p} \) は運動量ベクトル（\( \vec{p} \)）をその大きさで割った単位ベクトルです。

\( \hat{p} = \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} \)

スピンの固有値が離散的な値を取るため、ヘリシティーの固有値もまた離散的です。スピンが \( S \) の粒子の場合、ヘリシティーの固有値は \( S \), \( S-1 \), ..., \( -S \) の範囲を取ります。つまり、ヘリシティーの値は \( -S \) から \( +S \) までの範囲で観測されます。

ヘリシティーは、スピンベクトルの代わりに、全角運動量演算子（\( \vec{J} \)）を用いて等価に表すことができます。これは、軌道角運動量（\( \vec{L} \)）の運動量方向への射影が常に0になるためです。

\( \vec{L} \cdot \vec{p} = 0 \)

ヘリシティーの分類と意味

ヘリシティーの値が正の場合、粒子は右巻き（right-handed）であるとされ、負の場合、左巻き（left-handed）であるとされます。この「巻き」という表現は、粒子が進む方向に対してスピンが右ネジのように回転しているか、左ネジのように回転しているかを表しています。

質量のない粒子とヘリシティー

3+1次元において、質量を持たない粒子の場合、その小群はSE(2)の二重被覆と関連付けられます。このとき、ヘリシティーは、SE(2)の回転に対するユニタリ表現として現れます。質量を持たないスピン-1/2の粒子の場合、ヘリシティーはカイラル演算子に\( \hbar/2 \) をかけたものと等価になります。

高次元におけるヘリシティー

d+1次元では、小群はSE(d-1)の二重被覆となります。ここでも同様に、ヘリシティーは標準表現や連続スピン表現を通じて記述されます。

ヘリシティーの重要性

ヘリシティーは、素粒子の反応や相互作用を理解する上で非常に重要な概念です。特に、弱い相互作用においては、左巻きの粒子と右巻きの反粒子のみが相互作用することが知られており、このヘリシティーの概念が重要な役割を果たします。

関連項目

ウィグナーの分類
カイラリティ

ヘリシティーは、粒子のスピンと運動量の関係を理解するための基本的な概念であり、素粒子物理学のさまざまな分野で応用されています。この概念を理解することで、粒子の性質や相互作用についての理解を深めることができます。

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