ヘリーの選択定理

ヘリーの選択定理

ヘリーの選択定理（Helly's selection theorem）は、局所的に有界な変動関数が、特定の条件のもとで収束部分列を持つことを示した重要な結果です。この定理は実数直線上の開集合における関数列に関するもので、エードゥアルト・ヘリーというオーストラリアの数学者の名前に由来しています。

定理の内容

定理の内容を説明すると、次のような状況を考えます。Uを実数直線のある開部分集合とし、{fₙ}（n ∈ N）はUからRへの一連の関数列であるとしましょう。このとき、以下の2つの条件を満たすとき、特定の収束性を持つ関数列の部分列が存在することが示されています。

1. この関数列がUの任意のコンパクト部分集合Wに対して一様に有界であること。
2. 関数列がある点t ∈ Uにおいて有界であること。

これらの条件が満たされると、ある部分列{fₙₖ}が存在し、これが局所的に有界変動である関数fに収束します。具体的には、以下が成り立ちます。

• - {fₙₖ}はfに各点収束する。
• - {fₙₖ}はL¹空間において局所的にfに収束する。

この「局所的に」という特性は、U内のすべてのコンパクト埋め込みWに対して、次が成り立つことを意味します。

$$
\lim_{k \to \infty} \int_{W} |f_{n_{k}}(x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0.
$$

さらに、U内のコンパクトな部分集合Wに対して次の不等式も成り立ちます。

$$
\left\| \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} \right\|_{L^{1}(W)} \leq \liminf_{k \to \infty} \left\| \frac{\mathrm{d} f_{n_{k}}}{\mathrm{d} t} \right\|_{L^{1}(W)}.
$$

一般化と拡張

ヘリーの選択定理には多くの一般化および拡張があります。バナッハ空間に値をとるBV関数に関する一般化の一例として、BarbuとPrecupanuによるものが挙げられます。この場合、Xを回帰的で可分なヒルベルト空間とし、EをXの閉凸集合とします。ある一様有界列{zₙ}が定義され、これに基づいていくつかの性質が成り立つとされています。

その結果、以下の条件が満たされる部分列{zₙₖ}と関数δ, zが存在します。

• - すべてのtに対し、$$\int_{[0, t)} \Delta (\mathrm{d} z_{n_{k}}) \to \delta (t)$$ が成り立つ。
• - すべてのtに対し、$$z_{n_{k}}(t) ⇀ z(t) ∈ E$$ が成り立つ。
• - 任意の0 ≤ s < t ≤ Tに対して、$$\int_{[s, t)} \Delta (\mathrm{d} z) ≤ \delta(t) - \delta(s)$$ が成り立つ。

関連項目

この定理は有界変動関数やフランコヴァ=ヘリーの選択定理と関連しています。定理の詳細やその応用については、次の文献が参考になります。

• - Barbu, V.; Precupanu, Th. (1986). Convexity and optimization in Banach spaces. Mathematics and its Applications. Dordrecht: D. Reidel Publishing Co.

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