ヘルマン・モーガン記号

ヘルマン・モーガン記号：結晶の対称性を記述する記法

ヘルマン・モーガン記号（Hermann-Mauguin notation）は、結晶の対称性を記述するために用いられる国際的な記法です。ドイツの結晶学者カール・ヘルマンとフランスの鉱物学者シャルル＝ヴィクトル・モーガンの名前にちなんで名付けられました。この記号体系は、結晶の点群と空間群、そしてそれらに含まれる対称要素を簡潔に表現することを可能にします。

点群の表記

点群は結晶における対称操作の集合を表し、結晶の対称性を決定します。ヘルマン・モーガン記号では、点群の対称要素を以下の様に記述します。

回転軸: 回転軸の次数（回転角度）を数字で表します。例えば、2は2回対称軸（180度回転）、3は3回対称軸（120度回転）、4は4回対称軸（90度回転）、6は6回対称軸（60度回転）を表します。
回反軸: 回転と鏡映を組み合わせた対称操作を表します。次数の上にバーを付して表します。例えば、\(\bar{1}\)は反転中心、\(\bar{3}\)、\(\bar{4}\)、\(\bar{6}\)はそれぞれ3回、4回、6回回反軸を表します。\(\bar{2}\)は鏡映面を表し、mと表記されることもあります。
鏡映面: mで表されます。

これらの対称要素を組み合わせて、点群を表現します。基本的には、点群を生成する主要な対称要素を列挙します。分かりやすさを考慮して、生成元以外の要素を追加する場合もあります。

例えば、回転軸nに垂直な鏡映面が存在する場合はn/mと表記され、回転軸nを含む鏡映面が存在する場合はnmと表記されます。また、複数の対称要素を含む点群では、主軸を第一項に、それに垂直な副軸を第二項に、さらに必要に応じて生成される対称軸を第三項以降に記述します。

具体的な例:

点群222: c軸方向の2回軸、a軸方向の2回軸、これらから生成されるb軸方向の2回軸を表します。
点群422: c軸方向の主軸（4回軸）、a軸方向の2回軸、これらから生成される[110]方向の2回軸を表します。
点群32: c軸方向の主軸（3回軸）とそれに垂直な2回軸を表します。生成される他の2回軸は同じ類に属するため、省略されます。
点群4/m 2/m 2/m: 各回転軸に垂直な鏡映面が存在することを示します。これはしばしば4/mmmと簡略化されます。

空間群の表記

空間群は、結晶の並進対称性と点群対称性を組み合わせたものです。空間群の記号は、点群記号の前に空間格子の型を表す記号（P, I, F, A, B, Cなど）を付け加えます。

空間群では、点群の回転軸や鏡映面が、らせん軸や映進面に拡張される場合があります。

具体的な例:

空間群P2₁/c: P格子の結晶で、2回らせん軸とそれに垂直なc映進面が存在することを示します。

まとめ

ヘルマン・モーガン記号は、結晶の対称性を簡潔かつ正確に記述する重要なツールです。この記号体系を理解することで、結晶構造の対称性を分析し、理解することができます。 結晶学の分野では必須の知識であり、物質の性質を理解する上で重要な役割を果たします。記号の構成要素を理解し、具体的な例を通して記法を習得することで、より深く結晶構造の対称性を理解できるようになります。

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