空間群

結晶構造の対称性を解き明かす：空間群入門

結晶は、原子や分子が規則正しく配列した構造体です。この規則正しい配列パターンを理解する鍵となるのが「空間群」です。空間群とは、結晶構造の対称性を記述する数学的なグループのこと。結晶の対称性を記述するために、点群の対称操作（恒等操作、回転、鏡映、反転、回映、回反）に加え、結晶全体を平行移動させる「並進操作」という概念が導入されています。

空間群の種類と分類

全部で230種類の空間群が存在し、あらゆる結晶は必ずいずれかの空間群に分類されます。しかし、実際の結晶構造は原子の種類や化学結合の影響を受けるため、実際によく見られるのはその中の100種類程度です。

空間群は、その性質によって「シンモルフィック空間群」と「ノンシンモルフィック空間群」に分類できます。

シンモルフィック空間群 (共型空間群): 単純な並進操作と結晶点群を組み合わせた73種類の空間群。並進操作が点群の対称性と矛盾しません。
ノンシンモルフィック空間群 (非共型空間群): 結晶点群に並進操作を加えることで、「らせん操作」や「映進操作（グライド操作）」といった新しい対称操作が生まれる157種類の空間群。これらの新しい対称操作は、回転や鏡映などの基本的な対称操作に部分的な並進が組み合わさったものです。

空間群の記述と表現

空間群を記述する方法は、主に2種類あります。

ヘルマン・モーガン記号 (Hermann-Mauguin): 国際的に広く用いられる簡潔な記号。
シェーンフリース記号 (Schoenflies): より数学的な表現で、歴史的には古くから使われていました。

空間群における対称操作は、ザイツ記法を用いて(α|b)と表現されます。ここでαは回転操作、bは並進操作です。回転がない単純な並進操作は(ε|b)と表されます。εは恒等操作を表します。

並進群

結晶を基本並進ベクトルt1、t2、t3の整数倍だけ平行移動させる操作を並進操作と呼びます。これらの並進操作の集合は「並進群」と呼ばれ、3つの巡回群の直積(T=T₁×T₂×T₃)として表されます。並進群の既約表現は全て1次元であり、空間群に属する操作が作用する逆格子空間のベクトルkを用いて、exp(ik・t_n)と表されます。

k点群とk群、kの星

空間群Gは並進群Tを法として剰余類分解できます。この剰余類分解によって得られる点群を「点群」と呼びます。ブリルアンゾーン内の特定の点kでは、k≅αk（≅は逆格子ベクトルだけの違いは許容することを示す）となる回転操作αが存在し、これらの回転操作αは「k点群Pk」を形成します。

「k群Gk」は、空間群Gを並進群を法として剰余類分解し、さらにk点群Pkに属する回転操作αを持つ剰余類を集めて得られるGの部分群です。「kの星」は、k群Gkを法として空間群Gを剰余類分解したときのβkの集合であり、数学的には軌道と呼ばれます。

k群Gkの既約表現を求める際は、kがブリルアンゾーンの内部にあるか、境界にあるか、そして空間群Gがシンモルフィックかノンシンモルフィックかによって3つのパターンに分けて考える必要があります。シンモルフィック空間群の場合は通常の表現で求められますが、ノンシンモルフィック空間群の場合は斜線表現を用いる必要があります。k群Gkの既約表現から、空間群の既約表現を誘導表現として得ることができます。

まとめ

空間群は、結晶構造の対称性を理解する上で不可欠な概念です。その種類、分類、記述方法、そして関連する数学的な概念を理解することで、物質の性質や機能をより深く理解することができます。本稿では、空間群の基礎を網羅的に解説しました。より高度な理解のためには、群論や結晶学の専門書を参照することをお勧めします。

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