点群

点群：図形と対称性の数学

点群とは、ある図形を移動させてもその形が変わらないような操作（ただし、少なくとも1つの不動点を持つ）の集合が成す群のことです。この抽象的な数学的概念を用いることで、物理学や化学における結晶や分子の対称性を厳密に記述することが可能になります。多くの場合、3次元ユークリッド空間における変換を扱います。

対称操作

図形の形を変えずに移動させる操作を対称操作といいます。3次元空間には以下の7種類の対称操作が存在します。

1. 恒等操作: 何も操作しない。すべての点が不動点。
2. 回転操作: ある軸（対称軸）の周りに回転させる。軸上の点が不動点。
3. 鏡映操作: ある面（対称面）に関して面対称に移動させる。面上の点が不動点。
4. 反転操作: ある点（対称中心）に関して点対称に移動させる。対称中心が不動点。
5. 回映操作: ある軸（回映軸）の周りに回転させた後、その軸に垂直な面に関して鏡映する。軸上の点が不動点。
6. 回反操作: ある軸（回反軸）の周りに回転させた後、軸上の一点に関して反転する。軸上の一点が不動点。
7. 並進操作: 図形全体を平行移動させる。不動点を持たないため、点群の定義からは除外されます。

対称軸、対称面、対称中心、回映軸、回反軸といったものは対称要素と呼ばれます。

点群の定義

ある図形に対する2つの対称操作 a と b の積 a × b を、 a を行ってから b を行う操作と定義します。すると、並進操作を除く対称操作の集合は、以下の群の公理を満たします。

1. 結合法則: 任意の操作 a, b, c について、 (a × b) × c = a × (b × c) 。
2. 単位元: 恒等操作 e が存在し、任意の操作 a について、 a × e = e × a = a 。
3. 逆元: 任意の操作 a に対して、 a × a⁻¹ = a⁻¹ × a = e となる a⁻¹ が存在する。

この群を、その図形の点群といいます。したがって、図形の対称性や対称操作を数学的に解析するには、群論の知識が不可欠となります。例えば、底面が正三角形の三角錐（正四面体ではない）には、恒等操作、2つの120度回転操作、3つの鏡映操作があり、これら6つの操作は群を成します。

点群の表記

点群を表す記号には、主に以下の2種類があります。

1. シェーンフリース記号: 物理学や化学で用いられる。
2. ヘルマン・モーガン記号（国際記法）: 結晶学で用いられる。

例えば、底面が正三角形の三角錐の点群は、シェーンフリース記号では C₃ᵥ、ヘルマン・モーガン記号では 3m と表記されます。

点群の既約表現

点群の対称操作に対応する行列を表現行列、それらの行列の集合を表現といいます。点群という抽象的な概念を具体的な形で表現する手段です。一つの点群に対して複数の表現が存在し、その性質は指標（トレース）によって特徴付けられます。指標をまとめた表を指標表といいます。

より簡単な表現に分解できる表現を可約表現、それ以上分解できない表現を既約表現といいます。可約表現は相似変換によって既約表現に分解（簡約）できます。指標は相似変換で不変です。系の対称性を考慮することで、その対称性における最も基本的な要素（既約表現）を明らかにできます。

既約表現を表す記号には、ベーテ記号、マリケン記号、BSW記号などがあります。

アンモニア分子を例とした計算

アンモニア分子 (NH₃) の点群は C₃ᵥ です。これは恒等操作 E、回転操作 C₃、C₃⁻¹、鏡映操作 σᵥ₁, σᵥ₂, σᵥ₃ から成る群です。これらの操作の積表（群表）を作ることで、群の性質を調べることができます。 C₃ᵥ の部分群、剰余類、共役類、正規部分群、そして商群といった概念も群論を用いて分析できます。

簡約

アンモニア分子の3つの水素原子の s 軌道を基底として可約表現を構成し、既約表現への簡約を行います。指標表を用いて簡約公式を適用することで、可約表現がどの既約表現から構成されているかを明らかにできます。

結晶点群と空間群

結晶では並進操作も考慮する必要があります。並進操作と両立する点群は32種類のみ存在し、これを結晶点群といいます。結晶点群に並進操作を加えたものは空間群と呼ばれ、230種類存在します。

点群の応用例

点群の概念は、結晶の対称性、分子の電子状態（分子軌道法、混成軌道、ヒュッケル法）、結晶場理論、配位子場理論、分子振動（赤外吸収スペクトル、ラマンスペクトル）、格子振動などの様々な分野に応用されています。

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