ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式

ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式は、略してBBP公式とも呼ばれ、数学定数である円周率πに関する注目すべき公式です。1995年にサイモン・プラウフによって発見され、その後の関連論文の著者であるデイヴィッド・H・ベイリー、ピーター・ボールウェインと共に広く知られるようになりました。

この公式の最大の特長は、πの十六進数表示における任意の桁の値を、それより前の桁を一切計算することなく直接求めることができるという点です。これは「スピゴット・アルゴリズム」の一種として分類されます。BBP公式が発見されるまで、πのような無理数のn桁目を計算するためには、通常、最初のn桁全てを計算する必要があると考えられていました。そのため、BBP公式の発見は、当時の数学界や計算機科学の分野に大きな驚きをもたらしました。この画期的な手法は、πの膨大な桁数を計算する分散コンピューティングプロジェクト（PiHexなど）にも活用されました。

BBP公式の具体的な形は無限級数として表現されますが、その数学的な構造は、πの十六進数の計算に特化しています。この公式を用いて十進数の任意の桁を直接計算することはできません。十進数向けの同様の公式は、後に（2022年にプラウフによって）発見されています。

BBP公式は、より広い概念であるBBP型公式の一部と見なすことができます。BBP型公式は、π以外の様々な無理数（例えば、特定の対数関数や逆三角関数の値など）に対しても存在する、類似した形式の無限級数です。BBP型公式は一般に以下のような形で表されます。

$$ \alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{b^k} \frac{p(k)}{q(k)} \right] $$

ここで α は対象の無理数、bは通常2以上の整数である基数、p(k)とq(k)はkの整数係数多項式です。このような公式が存在するかどうか、また具体的な形を見つけるための系統的な方法はまだ知られておらず、多くの場合はコンピュータを用いた実験的な探索によって発見されています。探索には、PSLQアルゴリズムのような整数関係探索アルゴリズムが重要な役割を果たします。

BBPアルゴリズムによる任意の桁計算の仕組みは、対象の数の表現をずらし（πのn桁目を計算する場合、πに16^(n-1)を乗じる）、その小数部分を取り出す際に剰余演算を巧みに利用することに基づいています。これにより、本来必要となるはずの巨大な中間計算結果（特に整数部分）を省略できます。具体的には、級数の各項に対して冪剰余計算を行い、それらを合計して最終的な小数点以下の桁数を得ます。この計算方法は、目的の桁数nに対して計算量がほぼnに比例するオーダー（厳密にはnにlog nの多項式を掛けたオーダー）となり、従来の多くの方法と比較して、特にメモリ効率に優れているという利点があります。また、計算結果を簡単な方法で検証できる点も特徴です。

BBPアルゴリズムの手法は、後にD. J. Broadhurstによってさらに一般化され、カタラン定数やリーマンゼータ関数のある特殊値（ζ(3), ζ(5)など）を含む、他の多くの数学定数の任意の桁を効率的に計算するためにも応用されています。

このように、ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式は、円周率の計算方法に革新をもたらしただけでなく、数学定数の性質や計算アルゴリズムに関する研究を広範に促進した、極めて重要な発見と言えます。

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