ベクトルポテンシャル

ベクトルポテンシャルとは

数学、特にベクトル解析において、3次元ベクトル場 v のベクトルポテンシャル A は、その回転（rot）が v に等しいベクトル場として定義されます。数式で表すと以下のようになります。

math
\operatorname{rot} {\boldsymbol A} = {\boldsymbol v}


この概念は、3次元ベクトル場に限らず、微分形式を用いることでより高次元のベクトル場にも拡張できます。

定義

領域Dを3次元空間R³の部分集合とします。Dの近傍で定義され、微分可能な3次元ベクトル場 v があるとき、別の3次元ベクトル場 A が v のベクトルポテンシャルであるとは、上記の定義式を満たすことを意味します。

性質

ベクトルポテンシャルが存在するための必要条件

ベクトル場 A が v のベクトルポテンシャルである場合、ベクトル解析の恒等式 `div rot = 0` を用いると、以下が成立します。

math
0 = \operatorname{div} (\operatorname{rot} {\boldsymbol A}) = \operatorname{div} {\boldsymbol v}


したがって、`div v ≠ 0` の場合、v はベクトルポテンシャルを持ちません。つまり、ベクトルポテンシャルを持つためには、その発散が0である必要があります。

不定性

ベクトルポテンシャルは一意に定まりません。もし A が v のベクトルポテンシャルである場合、`rot X = 0` を満たす任意のベクトル場 X に対して、`A + X` もまた v のベクトルポテンシャルとなります。このため、ベクトルポテンシャルには不定性が存在します。

math
\operatorname{rot} (\boldsymbol A + \boldsymbol X) = {\boldsymbol v}

ベクトルポテンシャルの求め方

ベクトルポテンシャルの求め方には複数の方法が存在し、その解法によって異なるベクトルポテンシャルが得られることがあります。しかし、これらの解はゲージ変換によって互いに移り合う関係にあります。

方法1

この方法は、微分形式論におけるポアンカレの補題の証明に基づいています。具体的な物理的な解釈は少ないですが、数学的な手法として重要です。

方法2 (電流ベクトルポテンシャル)

ビオ・サバールの法則のアナロジーを用いることで、電流密度と磁場の関係を表すベクトルポテンシャルを求めることができます。このベクトルポテンシャルは、電流ベクトルポテンシャルと呼ばれます。

この証明には、以下のベクトル解析の恒等式が用いられます。

math
\operatorname{rot} (\boldsymbol{j} \times \frac{\hat{\boldsymbol r}}{r^2}) = (\operatorname{div} \frac{\hat{\boldsymbol r}}{r^2}) \boldsymbol{j} - (\operatorname{div} \boldsymbol{j}) \frac{\hat{\boldsymbol r}}{r^2}


また、`div (r̂/r²) = 4πδ(r)` という関係を用いることで、最終的に `rot H = j` という結果が得られます。

方法3 (電磁ベクトルポテンシャル)

この方法は、ヘルムホルツの定理の特殊な場合であり、時間変動のない磁場から電磁ベクトルポテンシャルを求める際に用いられます。物理学では、単にベクトルポテンシャルという場合、多くはこの電磁ベクトルポテンシャルを指します。

関連項目

アハラノフ＝ボーム効果
スカラーポテンシャル
ベクトル解析
電磁気学

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