ベクトル解析

ベクトル解析：空間におけるベクトル場とテンソル場の微積分学

ベクトル解析は、空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分を扱う数学の分野です。電場や磁場、流体の速度場など、多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として表現されるため、ベクトル解析は物理学において重要な役割を果たします。3次元ユークリッド空間での応用が最も一般的ですが、より高度な数学を用いることで、n次元多様体への拡張も可能です。

3次元ユークリッド空間におけるベクトル解析

ベクトル場とスカラー場

3次元ユークリッド空間R³上のベクトル場とは、空間の各点Pに対して、Pを始点とする3次元ベクトルX(P)を対応付ける写像のことです。本稿では、この写像が滑らかである、つまり各成分が任意回微分可能であると仮定します。ベクトル場を成分で表すと、X(P) = (X₁(x₁,x₂,x₃), X₂(x₁,x₂,x₃), X₃(x₁,x₂,x₃)) となります。ここで、(x₁,x₂,x₃) は点Pの座標です。

同様に、3次元ユークリッド空間R³上のスカラー場Fとは、空間の各点Pに対して実数F(P)を対応付ける写像です。ベクトル場の例としては、電場、磁場、重力場などが挙げられ、スカラー場の例としては、温度や圧力などが挙げられます。

スカラー場の線積分

スカラー場Fと、パラメーター表示された曲線C：x(u) = (x₁(u), x₂(u), x₃(u)), u∈[a,b] を考えます。このとき、曲線Cに沿ったスカラー場Fの線積分は、以下の式で定義されます。

∫ₐᵇ F(x(u)) ||dx/du(u)|| du

この積分は、曲線Cの向き付けには依存しますが、パラメーターの取り方には依存しません。線素ds = ||dx|| を用いて、線積分は∫ᴄ F ds とも表記されます。閉曲線の場合には∮ᴄ F ds と表記されます。

弧長

線積分の特別な場合として、F=1 の場合を考えると、∫ᴄ ds は曲線Cの長さ（弧長）を表します。

弧長パラメーター

曲線Cを、x(s) = (Cの始点からs離れた位置) とパラメーター表示できる場合、sをCの弧長パラメーターと言います。この場合、||dx/ds|| = 1 が成り立ちます。

ベクトル場の線積分

ベクトル場Xと曲線Cを考えます。ベクトル場Xの曲線Cに沿った線積分は、以下の式で定義されます。

∫ₐᵇ X(x(u))・(dx/du(u)) du

ここで「・」は内積を表します。この積分は、ベクトル場Xの、曲線Cの接線方向成分を積分したものです。閉曲線の場合には∮ᴄ X・dx と表記されます。

スカラー場の面積分

曲面S：x = x(u₁,u₂), (u₁,u₂)∈D を考えます。このとき、スカラー場Fの曲面S上の面積分は、以下の式で定義されます。

∬ᴅ F(x(u₁,u₂)) ||∂x/∂u₁ × ∂x/∂u₂|| du₁ du₂

ここで「×」は外積を表します。この積分は、曲面Sのパラメーター表示の方法には依存しません。閉曲面の場合には∮s F dS と表記されます。

ベクトル場の面積分

曲面Sの単位法線ベクトルをnとすると、ベクトル場Xの曲面S上の面積分は、以下の式で定義されます。

∬s X・n dS

この積分は、ベクトル場Xの、曲面Sの法線方向成分を積分したものです。閉曲面の場合には∮s X・n dS と表記されます。

勾配、回転、発散

スカラー場Fの勾配grad F、ベクトル場Xの回転rot X、発散div Xは、それぞれ以下のように定義されます。

grad F = (∂F/∂x₁, ∂F/∂x₂, ∂F/∂x₃)

rot X = (∂X₃/∂x₂ - ∂X₂/∂x₃, ∂X₁/∂x₃ - ∂X₃/∂x₁, ∂X₂/∂x₁ - ∂X₁/∂x₂)

div X = ∂X₁/∂x₁ + ∂X₂/∂x₂ + ∂X₃/∂x₃

これらの演算子は、ナブラ∇ = (∂/∂x₁, ∂/∂x₂, ∂/∂x₃) を用いて、grad F = ∇F, rot X = ∇×X, div X = ∇・X と表記できます。

ストークスの定理とガウスの定理

勾配、回転、発散と線積分、面積分の間には、ストークスの定理とガウスの定理という重要な関係式が成り立ちます。

ストークスの定理：∫s rot X dS = ∮∂s X ds

ガウスの定理：∫v div X dV = ∮∂v X・n dS

発散の幾何学的意味

ベクトル場の1パラメーター変換を用いることで、発散divの幾何学的意味を理解できます。1パラメーター変換Φu(x)とは、ベクトル場Xに沿ってuだけ進んだ点を表す写像です。このとき、div Xは、微小体積の1パラメーター変換による変化率を表します。

ポアンカレの補題とポテンシャル

rot(grad F) = 0 と div(rot X) = 0 が常に成り立ちます。ポアンカレの補題によると、rot X = 0 ならば、grad φ = X となるスカラーポテンシャルφが存在し、div X = 0 ならば、rot A = X となるベクトルポテンシャルAが存在します。

歴史

ベクトル解析は19世紀に生まれ、20世紀に高次元ベクトル場へと一般化されました。初期には、解析幾何学や四元数が用いられていましたが、ウィラード・ギブスの貢献により、現代のベクトル解析の記号と概念が確立されました。

関連概念

場の微分、曲率、ナブラ、勾配、発散、回転、偏微分、線積分、面積分、グリーンの定理、発散定理など。

もう一度検索