微分形式

微分形式：多様体上の微分の幾何学的表現

微分形式は、微分可能多様体上で定義される共変テンソル場で、多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分を表現する強力な数学的ツールです。解析学や幾何学の様々な概念や公式を統一的に捉え、多様体の内在的な構造を調べる上で非常に重要です。エリ・カルタンによる微分方程式の幾何学的アプローチから生まれた微分形式は、形式的な計算を通して多くの結果を導き出し、多様体などの図形の研究において極めて有効な道具となっています。

微分形式の定義

n次元微分可能多様体M（分かりやすい例としてn次元ユークリッド空間Rⁿを考える）上で定義されたr回連続微分可能な関数を、C^r級0次微分形式と呼びます。多くの場合、C^∞級（無限回微分可能）の滑らかな関数を扱います。

Mの各点pにおける余接ベクトルξ_p∈T_p(M)を、pに関して連続的に与える対応を1次微分形式と呼びます。これは余接束の切断、つまり余接ベクトル場と考えることができます。座標系{x₁, x₂, ..., x_n}を用いると、1次微分形式は∑f_i(p)dx_iと表されます。ここで、f_i(p)はpに関する実数値関数です。

領域D上の微分1形式と外積∧を用いて構成される共変テンソル場をk次微分形式と呼びます。係数となるfはD上のC^r級関数です。kを微分形式の次数と呼びます。D上の微分k形式の空間をΩ^k(D)と書きます。kの値によらず、これらをまとめて微分形式と呼びます。

点pにおけるk次微分形式ξの値は、pにおける余接ベクトルと外積代数の積∧（外積、ウェッジ積）を用いて構成され、pにおける余接空間T_p(M)のk次交代外積 ∧^kT*_p(M)の元を与えます。dxiは余接ベクトル、つまり接ベクトル上の線形形式であり、ξ_pは接ベクトル空間T_p(M)のk個の直積T^k_p(M)を実数に写す関数で、交代線形性を満たします。

外微分

微分形式の次数を1つ上げる線形写像d: ∧^k(D) → ∧^k+1(D)を外微分と呼びます。これは微分形式の「係数」になっている関数の微分を通して定義されます。

領域Dに座標系{x₁, x₂, ..., x_n}が与えられているとき、微分0形式（D上の関数f）には全微分df=∑(∂f/∂x_i)dx_iを対応させます。これは座標系の選び方によらない量です。微分k形式ξに対しては、外微分dξを対応させます。この外微分も座標系の取り方によらず定義できます。任意の微分形式ξに対して、2回外微分を施すとd(dξ)=0となります。

外積の計算

外積代数の詳細は省略しますが、微分1形式の順序を入れ替えると符号が反転します。例えば、dx_i∧dx_j=-dx_j∧dx_iです。同じ1次微分形式の積は0になります。

一般に、微分k形式ξと微分l形式ηの外積ξ∧ηは、微分k+l形式となり、交代性からξ∧η=(-1)^klη∧ξとなります。kが奇数の場合はξ∧ξ=0が成り立ちます。和と積を組み合わせた演算では分配法則が成り立ちます。

座標変換と積分

座標変換における微分形式の変換則は、重積分の変数変換公式と密接に関連しています。Rⁿの領域Dにおいて、座標系{x₁,...,x_n}と{y₁,...,y_n}の変換が与えられた場合、微分k形式はヤコビアンを用いて変換されます。D上で定義された微分k形式ξの積分∫_Dξは座標によらず定義されます。

多様体上の積分

向き付け可能なn次元微分可能多様体M上の微分n形式ξの積分は、1の分割を用いて局所的な積分を貼り合わせることで定義されます。

閉形式と完全形式

外微分dξ=0となる微分k形式ξを閉形式と呼びます。dω=ξとなる微分(k-1)形式ωが存在する場合、ξを完全形式と呼びます。完全形式は閉形式ですが、逆は一般には成り立ちません。この違いは多様体の幾何学的構造を反映しており、微分形式の重要な性質です。ポアンカレの補題より、可縮な多様体では閉形式は完全形式となります。

まとめ

微分形式は、多様体上の微分を座標系によらずに記述する強力なツールです。その外微分、外積、積分、そして閉形式と完全形式といった概念は、多様体の幾何学的性質を理解する上で不可欠です。様々な分野で応用され、幾何学、解析学の発展に大きく貢献しています。 ストークスの定理なども微分形式の枠組みで統一的に理解することができます。

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