ペンローズのグラフ記法

ペンローズのグラフ記法

ペンローズのグラフ記法（Penrose graphical notation）は、1971年にロジャー・ペンローズによって提案された数学と物理学のための視覚的表現手法です。この記法は多重線型関数やテンソルを図形で表すもので、特に手書きの図として描かれます。図は線で結ばれたいくつかの異なる形から構成されるため、これにより複雑な数理構造を直感的に理解することが可能になります。

この記法は、Predrag Cvitanovićによって深く研究され、古典リー群の分類に応用されるようになりました。また、テンソル代数における発展を支援し、物理学におけるスピンネットワークの表現論や、トレースダイアグラムなど、他の数学的概念との関連性を持ちつつ一般化されています。

多重線型代数

ペンローズのグラフ記法では、それぞれの図形が多重線型関数の機能を象徴しています。形に描かれた線は入力や出力を示し、図形同士が接続されることで関数同士の合成を表現します。このようにして、複雑な数学的操作を簡潔に図式化することができます。

テンソルの定義

テンソルの視点から見ると、特定のテンソルはそれに応じた形に結び付けられます。そして、各テンソルの上下添字は多くの線として上下に伸びており、二つの形を結ぶ線は添字の縮約に該当します。この表記の利点の一つは、新しい添字を作成する必要が無いことや、基底依存性から解放されている点です。

行列との関連

各図形は行列を表しており、テンソル積は水平に配置され、行列の積は垂直に示されます。これにより、行列演算の視覚的把握が容易になっています。

特殊なテンソルの表現

• - 計量テンソル: このテンソルは使用される際、その種類に応じてU字型のループもしくは逆U字型のループで表されます。
• - レヴィ＝チヴィタテンソル: この反対称テンソルは、使用される種類によって、上下を向く太い水平の棒で表現されます。
• - リー代数の構造定数: これらは一対の上向き線と二つの下向き線から成る小さな三角形で示されます。

テンソル演算

テンソルの演算は、図表記法を用いて行われます。

• - 指数の縮約: 添字線が結びつくことによって表されます。
• - 対称化と反対称化: それぞれ水平に伸びた添字線を横切るジグザグ線や波線、及び添字線を横切る太い直線で表示されます。
• - 行列式: 行列の添字に反対称化を適用することで形成されます。
• - 共変微分: 共変微分は、周囲に円を描き、その中に微分されるテンソルを示して表現されます。

この記法は、テンソル代数の操作に適しており、数々の簡潔な恒等式も含まれています。たとえば、次元数nに対する特定の恒等式が一般的に認められています。さらに、リーマン曲率テンソルに関連するリッチおよびビアンキの恒等式は、この表記法の効力を示す良い例と言えるでしょう。

近年、このペンローズのグラフ記法はスピノルやツイスター理論の支援を得て、さらなる拡張がなされています。これにより物理学や数学の分野における扱いがますます広がっています。新しい技術や理論が発展するにつれて、ペンローズのグラフ記法が果たす役割はますます重要になっていくことでしょう。

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