多重線型代数

多重線型代数とは

多重線型代数は、線型空間内の多重線型性を研究する代数の一分野です。この分野では、ベクトルの積を表す写像として多重線型写像が重要視されます。あるK-代数Aにおいて、n変数の写像が多重線型であるということは、他の変数を固定することで一変数の線型写像に還元できることを意味します。この特性により、多重線型写像は基本的に「積」として捉えられます。

基本的な対象としては、テンソル代数、対称代数、外積代数が存在し、それぞれ異なる積の構造を示します。特にテンソル代数は、ベクトルの積を最も一般的に表現し、外積代数や対称代数は特定の追加条件を満たします。これらは、数学や物理学などの様々な分野で応用されています。

歴史的背景

多重線型代数の起源は、19世紀にさかのぼります。この時期、一次方程式の研究やテンソル解析が行われ、多重線型代数の基盤が築かれました。20世紀に入ると、特に微分幾何学や一般相対性理論の発展に伴い、テンソルの概念が広がりを見せ、多重線型代数も徐々に発展していきます。

特に、ブルバキによる『代数』の編纂が影響を及ぼし、新たに定義された多重線型代数という用語が広まりました。この時期には、ホモロジー代数における応用も見られます。1940年代には代数的位相幾何学の進展があり、テンソル積を純代数的に扱う必要性が高まりました。多くの概念が絡む中で、ウェッジ積やクロス積の一般化が見られ、これらは微分形式理論において重要な役割を果たしています。ブルバキの再構成以降、多重線型代数は理論的な整理が進められ、実際の幾何学的直感が排除されていきました。

定義と構成

可換環Kにおいて、以下のように多重線型代数の一部が定義されます。

テンソル代数

テンソル代数TEは、K加群Eに基づいて、線型写像E → TEを持つ可換ではないK代数です。この条件を満たすことで、他のK代数Aへの準同型TE → Aが一意に定まります。

対称代数

対称代数SEは、可換なK代数で、K線型写像を持ちます。任意の可換K代数Aへの準同型の存在が特徴に含まれます。

外積代数

外積代数∧Eも可換ではないK代数であり、特定の条件を持つK代数への線型写像が存在します。

幾何学や物理学への応用

多重線型代数は応用[[数学]]の様々な分野で利用され、特に物理学や幾何学において重要です。例えば、ベクトル束やテンソル束に関連する操作を通じて、新たな束を構築することが可能です。このような構成により、物理学ではフォック空間の表現など、量子力学の根幹にも多重線型代数の概念が関わっています。

このように、多重線型代数は数学的な基盤を持ちながら様々な応用面での理解を深められており、それにより数学と他の科学分野の境界をなくす役割を果たしています。

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