ボッテマの定理

ボッテマの定理

ユークリッド幾何学において、ボッテマの定理（英語: Bottema's theorem）は、オランダの優れた数学者オーネ・ボッテマ（Oene Bottema, 1901–1992）にその名を冠する幾何学の重要な定理です。

この定理の最も基本的な主張は、任意の三角形ABCに対して辺ACと辺BCをそれぞれ一辺とする正方形を三角形の外側に描いた場合に現れる、ある特定の点の位置に関する性質です。具体的には、辺AC上の正方形と辺BC上の正方形において、元の三角形の頂点Cとは反対側に位置するそれぞれの頂点（仮にこれらを点D₁、点D₂とします）を結んだ線分D₁D₂の中点Mを考えます。ボッテマの定理は、この中点Mの位置が、三角形ABCにおける頂点Cの位置に全く依存しない、という驚くべき事実を述べています。つまり、頂点AとBの位置を固定し、点Cをどのように動かしても、この中点Mは常に一定の場所にあるのです。

さらに、この中点Mは、辺ABの中点をSとしたときに、点Sから等距離にあり、かつ△ABMにおいて∠MAB = ∠MBA = -π/4ラジアン（時計回りを正とした45度）となるような特別な位置を占めます。これは、線分ABを底辺とする二等辺直角三角形の、底辺の片方の頂点AまたはBから見て、頂角から45度内側（または外側、向きによる）に位置する点であることを意味し、AS = BS = MSという関係が成り立ちます。

ボッテマの定理は、正方形を三角形の内側に描いた場合にも同様に成り立ちます。内側に正方形を描いた場合も、Cとは反対側の頂点（または対応する点）を結んだ線分の中点MはCの位置に依りません。ただし、この場合の中点Mは、外側に描いた場合とは異なり、△ABMにおいて∠MAB = ∠MBA = π/4ラジアン（反時計回りを正とした45度）となる位置になります。同様にAS=BS=MSの関係は成り立ちますが、点Mは外側の場合とは異なる象限に位置することになります。

この定理は、正方形に限定されることなく、任意の正多角形に一般化できることが知られています。三角形ABCの辺ACとBCをそれぞれ一辺として、合同な任意の正n角形を外側または内側に描きます。これらの正多角形の外接円を考えたときに、元の三角形の頂点Cに対応する点から見て直径の反対側にある点（これを対蹠点といいます）をそれぞれD₁、D₂とします。この一般化された定理によれば、この対蹠点を結んだ線分D₁D₂の中点は、正方形の場合と同様に、元の三角形の頂点Cの位置に依存せず、常に定まった位置にあるのです。これは、正多角形の形状（辺の数n）や向き（外側/内側）が変わっても、特定の点の普遍性が保たれるという、非常に美しい幾何学的性質を示しています。

なお、幾何学の分野においては、異なる内容を持つカルノーの定理を指して「ボッテマの定理」と呼ぶ例も存在しますが、一般的に「ボッテマの定理」として言及されるのは、本項で解説した、三角形の辺に描かれた正方形や正多角形に関連する定理です。

ボッテマの定理は、単純な図形操作から生まれる、Cの位置に依らないという普遍的な点の存在を示す点で興味深く、幾何学の教育や研究においてしばしば引用される定理の一つとなっています。ヴァン・オーベルの定理やナポレオンの定理など、三角形とその辺上に作られた図形に関連する他の有名な定理とも関連性が見られます。

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