ボホナー積分

数学におけるボホナー積分は、ポーランド出身の数学者サロモン・ボホナーによって導入された、バナッハ空間に値をとる関数の積分概念です。これは、標準的なルベーグ積分を、実数や複素数ではなく、より一般的なバナッハ空間に値をとる関数へと拡張したもので、関数解析学、確率論など広範な分野で重要な役割を果たします。

その定義は、ルベーグ積分と同様に単関数から出発します。測度空間 (X, Σ, μ) からバナッハ空間 B への単関数 s は、可測集合 Ei 上で一定値 bi をとる関数の有限和として定義されます。単関数 s が可積分であるとは、bi がゼロでない集合 Ei の測度 μ(Ei) が全て有限である場合を指し、その積分は `∫_X s dμ = Σ μ(Ei) bi` と定義されます。この積分の値はバナッハ空間 B の元です。

一般の可測関数 ƒ: X → B がボホナー可積分であるとは、可積分な単関数列 sn で、バナッハ空間 B のノルムに関するL¹ノルムにおいて `lim[n→∞] ∫_X ||ƒ - sn||_B dμ = 0` となるものが存在する場合です。このとき、関数 ƒ のボホナー積分は、単関数列の積分の極限 `∫_X ƒ dμ = lim[n→∞] ∫_X sn dμ` として定義されます。関数 ƒ がボホナー可積分であることの必要十分条件は、その関数がボホナー空間 L¹(μ; B) に属すること、すなわち `∫_X ||ƒ(x)||_B dμ < ∞` となることです。特に有限測度空間では、ボホナー可測関数 ƒ（ほとんど至る所で単関数列の極限として表せる関数）に対してこのノルムの可積分性がボホナー可積分性と同値になります。

ボホナー積分はルベーグ積分の多くの重要な性質を共有します。例えば線形性や、優収束定理の類似が成り立ちます。これは、適切な条件のもとで関数列 ƒn が ƒ にほとんど至る所で収束し、ある可積分関数で一様に押さえられるならば、ƒn の積分は ƒ の積分に収束するという定理です。また、ボホナー可積分関数 ƒ については、任意の可測集合 E で積分のノルム不等式 `||∫_E ƒ dμ||_B ≤ ∫_E ||ƒ||_B dμ` が成り立ちます。これにより、積分がμに関して絶対連続なベクトル測度を定めることがわかります。

ルベーグ積分との大きな違いの一つは、ラドン–ニコディムの定理が一般には成立しないことです。これはバナッハ空間が持つラドン–ニコディム性という重要な性質と関連します。バナッハ空間 B がラドン–ニコディム性を持つとは、μ-絶対連続な任意の B-値ベクトル測度 γ に対して、`γ(E) = ∫_E g dμ` を満たすボホナー可積分関数 g（ラドン–ニコディム導関数）が存在することです。l¹空間はラドン–ニコディム性を持ちますが、c₀空間や無限次元のL¹・L∞・C 空間などは持ちません。回帰的空間や可分双対空間を持つ空間はラドン–ニコディム性を持ちます。

関連する概念として、ボホナー積分可能な関数空間であるボホナー空間 L¹(μ; B)、より一般的な積分概念であるペティス積分、そして積分が定めるベクトル測度などがあります。

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